Распределение гауссовских соотношений: производные, лежащие в основе

Я работаю с двумя независимыми нормальными дистрибутивами и , со средствами и и и .У μ х μ у σ 2 х σ 2 $X$$Y$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Я заинтересован в распределении их отношения . Ни ни не имеют среднего значения нуля, поэтому не распределяется как Коши.X Y $Z=X/Y$$X$$Y$$Z$

Мне нужно найти CDF для , а затем взять производную от CDF по , , и .μ х μ у σ 2 х σ 2 $Z$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

Кто-нибудь знает бумагу, где они уже были рассчитаны? Или как это сделать самому?

Я нашел формулу для CDF в газете 1969 года , но принимать эти производные определенно будет огромной болью. Может быть, кто-то уже сделал это или знает, как это легко сделать? Мне в основном нужно знать признаки этих производных.

Эта статья также содержит аналитически более простое приближение, если в основном положительный. Я не могу иметь это ограничение. Однако, может быть, аппроксимация имеет тот же знак, что и истинная производная даже вне диапазона параметров?$Y$

Некоторые связанные документы:

Вики: ` http://en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

Подумайте об использовании символического математического пакета, такого как Mathematica, если у вас есть лицензия, или Sage, если у вас его нет.

Если вы просто делаете числовую работу, вы также можете просто рассмотреть численное дифференцирование.

В то время как утомительно, это смотрит прямо вперед. То есть все задействованные функции легко вычисляются по производным. Вы можете использовать численное дифференцирование, чтобы проверить свой результат, когда вы закончите, чтобы убедиться, что у вас есть правильная формула.

$\mu_x$

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}