Интерпретация графиков анализа 2D соответствия

Я искал в интернете повсюду ... Мне еще предстоит найти действительно хороший обзор того, как интерпретировать 2D-графики анализа соответствия. Может ли кто-нибудь дать совет по интерпретации расстояний между точками?

Возможно, пример поможет, вот график, который можно найти на многих веб-сайтах, которые я видел, где обсуждается анализ соответствия. Красные треугольники представляют цвет глаз, а черные точки - цвет волос.

Глядя на график выше, не могли бы вы сделать несколько заявлений о том, что вы видите в этих данных. Интересует вопрос о различных измерениях и отношениях между треугольниками и точками?

Было бы полезно дать пояснения к точкам строк и стихам, а также использовать слово «профиль» с особым акцентом на примере.

Во-первых, существуют разные способы построения так называемых биплотов в случае анализа соответствия. Во всех случаях основная идея состоит в том, чтобы найти способ показать наилучшее двухмерное приближение «расстояний» между ячейками строк и столбцами. Другими словами, мы ищем иерархию (мы также говорим о «рукоположении») отношений между строками и столбцами таблицы сопряженности.

Очень кратко, CA разбивает статистику хи-квадрат, связанную с двусторонней таблицей, на ортогональные факторы, которые максимизируют разделение между оценками строк и столбцов (то есть частоты, вычисленные из таблицы профилей). Здесь вы видите, что есть некоторая связь с PCA, но мера дисперсии (или метрика), сохраняемая в CA, является , которая зависит только от профилей столбцов (поскольку она имеет тенденцию придавать большее значение модальностям, которые имеют большие предельные значения, мы также можем перевесить исходные данные, но это уже другая история).$\chi^2$

Вот более подробный ответ. Реализация, предложенная в corresp()функции (in MASS), следует из представления CA как SVD-разложения фиктивных кодированных матриц, представляющих строки и столбцы (такие, что , с общей выборкой). Это в свете канонического корреляционного анализа. Французская школа анализа данных, напротив, рассматривает CA как вариант PCA, где вы ищите направления, которые максимизируют «инерцию» в облаке данных. Это делается путем диагонализации матрицы инерции, вычисленной по центрированной и масштабированной (по предельным частотам) двусторонней таблице, и выражением профилей строк и столбцов в этой новой системе координат.$R^tC=N$$N$

Если вы рассматриваете таблицу со столбцами и столбцами , каждая строка взвешивается на соответствующую предельную сумму, которая дает ряд условных частот, связанных с каждой строкой: . Краевой столбец называется средним профилем (для строк). Это дает нам вектор координат, также называемый профилем (по строкам). Для столбца имеем . В обоих случаях мы будем рассматривать профили строки (связанные с их весом ) как отдельные элементы в пространстве столбцов, а профили столбца (связанные с их весомj = 1 , … , J f j | i = n i j / n i ⋅ f i | j = n i j / n ⋅ j I f i ⋅ J f ⋅ j χ 2 i i $i=1,\dots,I$$j=1,\dots,J$$f_{j|i}=n_{ij}/n_{i\cdot}$$f_{i|j}=n_{ij}/n_{\cdot j}$$I$$f_{i\cdot}$$J$$f_{\cdot j}$ ) как отдельные лица в пространстве строк. Метрика, используемая для вычисления близости между любыми двумя людьми, - это расстояние . Например, между двумя строками и имеем$\chi^2$$i$$i'$

Вы также можете увидеть связь со статистикой , отметив, что это просто расстояние между наблюдаемым и ожидаемым значениями, где ожидаемые значения (при , независимость двух переменных) вычисляются как для каждой ячейки . Если бы две переменные были независимы, все профили строк были бы одинаковыми и идентичными соответствующему профилю поля. Другими словами, когда есть независимость, ваша таблица непредвиденных обстоятельств полностью определяется ее полями.H 0 n i ⋅ × n ⋅ j / n ( i , j $\chi^2$$H_0$$n_{i\cdot}\times n_{\cdot j}/n$$(i,j)$

Если вы понимаете PCA в профилях строк (рассматриваемых как отдельные лица), заменив евклидово расстояние наcos 2 i j χ $\chi^2$расстояние, то вы получите свой CA. Первая главная ось - это линия, которая является ближайшей ко всем точкам, а соответствующее собственное значение - это инерция, объясняемая этим измерением. Вы можете сделать то же самое с профилями столбцов. Можно показать, что существует симметрия между этими двумя подходами, и более конкретно, что главные компоненты (ПК) для профилей столбцов связаны с теми же собственными значениями, чем ПК для профилей строк. На биплоте показаны координаты отдельных лиц в этой новой системе координат, хотя эти лица представлены в отдельном факториальном пространстве. При условии, что каждый индивид / модальность хорошо представлен в факториальном пространстве (вы можете посмотреть на$\cos^2$модальности с 1-ой главной осью, которая является мерой корреляции / ассоциации), вы даже можете интерпретировать близость между элементами и вашей таблицы сопряженности (как это можно сделать, посмотрев на остатки вашего теста независимости, например ).$i$$j$$\chi^2$chisq.test(tab)$expected-chisq.test(tab)$observed

Общая инерция вашего CA (= сумма собственных значений) является статистикой деленной на (который является Пирсона ). n ϕ $\chi^2$$n$$\phi^2$

На самом деле, есть несколько пакетов , которые могут предоставить вам расширенный УЦ по сравнению с функцией , доступной в MASSупаковке: ade4 , FactoMineR , Anacor и ки .

Последний является тот , который был использован для конкретной иллюстрации, и документ был опубликован в журнале статистического программного обеспечения , который объясняет большинство его functionnalities: Анализ соответствия в R с Двух- и трехмерная графика: В ча пакета .

Итак, ваш пример цвета глаз / волос может быть воспроизведен разными способами:

data(HairEyeColor)
tab <- apply(HairEyeColor, c(1, 2), sum) # aggregate on gender
tab

library(MASS)
plot(corresp(tab, nf=2))
corresp(tab, nf=2)

library(ca)
plot(ca(tab))
summary(ca(tab, nd=2))

library(FactoMineR)
CA(tab)
CA(tab, graph=FALSE)$eig  # == summary(ca(tab))$scree[,"values"]
CA(tab, graph=FALSE)$row$contrib

library(ade4)
scatter(dudi.coa(tab, scannf=FALSE, nf=2))

Во всех случаях то, что мы читаем в полученном биплоте, в основном (я ограничиваю свою интерпретацию 1-ой осью, которая объясняла большую часть инерции):

• первая ось подчеркивает четкую оппозицию между светлым и темным цветом волос, а также между голубыми и карими глазами;
• Люди со светлыми волосами, как правило, имеют голубые глаза, а люди с черными волосами, как правило, имеют карие глаза.

Существует много дополнительных ресурсов по анализу данных в лаборатории биоинформатики из Лиона во Франции. В основном это по-французски, но я думаю, что это не будет для вас проблемой. Следующие два раздаточных материала должны быть интересны в качестве первого начала:

• Инициирование фактора соответствия
• Pratique de l'analise des соответствия

Наконец, когда вы рассматриваете полное дизъюнктивное (фиктивное) кодирование переменных, вы получаете анализ множественных соответствий .$k$