Линейное моделирование смешанных эффектов с данными двойниковых исследований

Предположим, у меня есть некоторая переменная ответа которая была измерена от го брата в м семействе. Кроме того, некоторые поведенческие данные были собраны в то же время от каждого субъекта. Я пытаюсь проанализировать ситуацию с помощью следующей линейной модели смешанных эффектов: $y_{ij}$ $j$ $i$ $x_{ij}$

y_{i j} = α_{0} + α_{1} x_{i j} + δ_{1 i} x_{i j} + ε_{i j}

$y_{ij} = \alpha_0 + \alpha_1 x_{ij} + \delta_{1i} x_{ij} + \varepsilon_{ij}$

где и - фиксированный перехват и наклон соответственно, - случайный наклон, а - остаток. $\alpha_0$ $\alpha_1$ $\delta_{1i}$ $\varepsilon_{ij}$

Предположения для случайных эффектов и residual : (при условии, что в каждом семействе только два родных брата) $\delta_{1i}$ $\varepsilon_{ij}$

\begin{aligned} δ_{1 i} & \overset{d}{\sim} N (0, τ^{2}) \\ (ε_{i 1}, ε_{i 2})^{T} & \overset{d}{\sim} N ((0, 0)^{T}, R) \end{aligned}

$\begin{align} \delta_{1i} &\stackrel{d}{\sim} N(0, \tau^2) \\[5pt] (\varepsilon_{i1}, \varepsilon_{i2})^T &\stackrel{d}{\sim} N((0, 0)^T, R) \end{align}$

где - неизвестный параметр дисперсии, а дисперсионно-ковариационная структура - симметричная матрица формы 2 x 2 $\tau^2$ $R$

(\begin{matrix} r_{1}^{2} & r_{12}^{2} \\ r_{12}^{2} & r_{2}^{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} r_1^2&r_{12}^2\\ r_{12}^2&r_2^2 \end{pmatrix}$

это моделирует корреляцию между двумя братьями и сестрами.

Это подходящая модель для такого исследования родного брата?
Данные немного сложнее. Среди 50 семей около 90% из них - близнецы-дизиготы. Для остальных семей,
1. двое имеют только одного родного брата;
2. двое имеют одну пару DZ плюс один родной брат; и
3. у двух есть одна пара DZ плюс два дополнительных родных брата.
Я верю, lmeчто пакет R nlmeможет легко справиться (1) с отсутствующей или несбалансированной ситуацией. Моя проблема в том, как бороться с (2) и (3)? Одна возможность, которую я могу придумать, состоит в том, чтобы разбить каждое из этих четырех семейств в (2) и (3) на два, чтобы каждое подсемейство имело одного или двух братьев и сестер, чтобы вышеупомянутая модель все еще могла применяться. Это нормально? Другим вариантом было бы просто выбросить данные из дополнительных одного или двух братьев и сестер в (2) и (3), что кажется пустой тратой. Есть ли подходы лучше?
Кажется, что это lmeпозволяет зафиксировать значения в остаточной дисперсионно-ковариационной матрице , например, = 0,5. Имеет ли смысл навязывать структуру корреляции, или я должен просто оценить ее на основе данных? $r$ $R$ $r_{12}^2$

— bluepole
источник

Что обозначает

x_{j}

$x_j$

— Макро

@Macro: Спасибо, что заметили это. Просто изменили OP, чтобы указать, что

является пояснительной переменной, поведенческой мерой для каждого брата.

x_{i j}

$x_{ij}$

— bluepole

Очень интересный вопрос и приложение. Я мог что-то упустить, но мне кажется, что эта модель слишком параметризована. Коррелированных ошибки &

может быть эффективно разложены на «неразделенная» компонент и «общий» компонент, последний из которых имеет ту же функцию, что и

. Вы должны либо удалить

, сделать

независимые одинаково распределенные ошибки с, или наложить ограничения , как

для идентифицируемости - вы делаете , что с целью разъединить окружающую среду / генетические компоненты к родственным корреляции?

ϵ_{i 1}, ϵ_{i 2}

$ϵ_{i1},ϵ_{i2}$

δ_{0 i}

$δ_{0i}$

δ_{0 i}

$\delta_{0i}$

ϵ

$\epsilon$

r_{12}^{2} = .5

$r^2_{12} = .5$

— Макрос

@Macro: Вы правы:

не нужен в модели. Спасибо за указание на это! Странно не жалуется на такую избыточность.

δ_{0 i}

$δ_{0i}$ lme

— bluepole

Вы все еще работаете с этой сверхпараметрической моделью (эта часть вашего вопроса не была отредактирована)?

— Макро

Вы можете включить двойников и не двойников в унифицированную модель, используя фиктивную переменную и включив случайные наклоны в эту фиктивную переменную. Поскольку все семьи имеют не более одного набора близнецов, это будет относительно просто:

Пусть если родной брат в семье является близнецом, и 0 в противном случае. Я предполагаю, что вы также хотите, чтобы случайный наклон отличался для близнецов по сравнению с обычными братьями и сестрами - если нет, не включайте член в модель ниже. $A_{ij} = 1$ $j$ $i$ $\eta_{i3}$

Затем подойдет модель:

y_{i j} = α_{0} + α_{1} x_{i j} + η_{i 0} + η_{i 1} A_{i j} + η_{i 2} x_{i j} + η_{i 3} x_{i j} A_{i j} + ε_{i j}

$y_{ij} = \alpha_{0} + \alpha_{1} x_{ij} + \eta_{i0} + \eta_{i1} A_{ij} + \eta_{i2} x_{ij} + \eta_{i3} x_{ij} A_{ij} + \varepsilon_{ij}$

- фиксированный эффект, как в вашей спецификации $\alpha_{0}, \alpha_{1}$
- это «случайный» базовый случайный эффект, а - дополнительный случайный эффект, который позволяет близнецам быть более похожими, чем обычные братья и сестры. Размеры соответствующих случайных отклонений дают количественную оценку того, насколько похожи братья и сестры и насколько больше близнецов больше, чем у обычных братьев и сестер. Обратите внимание, что как близнецовые, так и не близнецовые корреляции характеризуются этой моделью - двойные корреляции рассчитываются путем соответствующего суммирования случайных эффектов (подключите ). $\eta_{i0}$ $\eta_{i1}$ $A_{ij}=1$
и имеют аналогичные роли, только они действуют как случайные наклоны $\eta_{i2}$ $\eta_{i3}$ $x_{ij}$
- термины ошибок iid - обратите внимание, что я написал вашу модель немного по-другому с точки зрения случайных перехватов, а не коррелированных остаточных ошибок. $\varepsilon_{ij}$

Вы можете соответствовать модели, используя Rпакет lme4. В приведенном ниже коде зависимая переменная: yфиктивная переменная A, предиктор x, произведение фиктивной переменной, и предиктор - это Axи famIDесть номер идентификатора для семейства. Предполагается, что ваши данные хранятся во фрейме данных Dс этими переменными в виде столбцов.

library(lme4) 
g <- lmer(y ~ x + (1+A+x+Ax|famID), data=D)

Переменные случайных эффектов и оценки фиксированных эффектов можно просмотреть, набрав summary(g). Обратите внимание, что эта модель позволяет свободно коррелировать случайные эффекты друг с другом.

Во многих случаях может иметь больше смысла (или быть более легко интерпретируемым) предполагать независимость между случайными эффектами (например, это предположение часто делается для разложения генетической корреляции и семейной корреляции между окружающей средой), и в этом случае вы вместо этого напечатаете

g <- lmer(y ~ x + (1|famID) + (A-1|famID) + (x-1|famID) +(Ax-1|famID), data=D)

— макрос
источник

Это действительно хорошее решение, и мне это нравится! Скоро попробую, и посмотрим, что получится ... Большое спасибо!

— bluepole

Пожалуйста. Если вы нашли это решение полезным, рассмотрите возможность принятия ответа :)

— Макрос

Две проблемы: 1) Поскольку большинство предметов - близнецы-дизиготы, ваш подход, по-видимому, не моделирует корреляцию между парой близнецов DZ. 2) Только 4 семьи имеют дополнительных братьев и сестер. Я боюсь, что было бы трудно оценить случайные эффекты для братьев и сестер, основываясь только на этих 4 семьях. Поскольку разница между парой близнецов DZ и другим родным братом относительно невелика (в основном экологическая, а не генетическая), возможно, я могу просто проигнорировать тонкую разницу между близнецом и родным братом и рассматривать этих нескольких братьев и сестер как близнецов со случайными эффектами, как в вашей модели или с коррелированными остатками, как в моем ОП.

— bluepole

\frac{σ_{0}^{2} + σ_{1}^{2}}{σ_{0}^{2} + σ_{1}^{2} + σ_{ε}^{2}}

$\frac{ \sigma_{0}^{2} + \sigma_{1}^{2} }{ \sigma_{0}^{2} + \sigma_{1}^{2} + \sigma^{2}_{\varepsilon}}$

σ_{0}^{2}, σ_{1}^{2}

$\sigma_{0}^{2}, \sigma_{1}^{2}$

η_{i 0}, η_{i 1}

$\eta_{i0}, \eta_{i1}$

σ_{ε}^{2}

$\sigma^{2}_{\varepsilon}$

η_{i 0}

$\eta_{i0}$

η_{i 2}

$\eta_{i2}$