Стрелки базовых переменных в биплоте PCA в R

Рискуя сделать вопрос специфичным для программного обеспечения и из-за его повсеместности и особенностей, я хочу спросить о функции biplot()в R и, более конкретно, о вычислении и построении по умолчанию ее наложенных красных стрелок, соответствующих к базовым переменным.

---

[Чтобы разобраться в некоторых комментариях, изначально опубликованные сюжеты имели скудную проблему с редким интересом, а теперь стерты.]

Подумайте об отмене голосования в постах @ amoeba и @ttnphns . Спасибо вам обоим за вашу помощь и идеи.

---

Следующее опирается на набор данных Iris в R и, в частности, на первые три переменные (столбцы):Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length .

Biplot сочетает в себе загрузочный участок (нестандартизованные собственные векторы) - в бетоне, первые две нагрузок , и оценку участок (повернуты и расширенные точки данных , построенные по отношению к основным компонентам). Используя тот же набор данных, @amoeba описывает 9 возможных комбинаций биплота PCA на основе 3 возможных нормализаций оценочного графика первого и второго основных компонентов и 3 нормализаций загрузочного графика (стрелки) исходных переменных. Чтобы увидеть, как R обрабатывает эти возможные комбинации, интересно взглянуть на biplot()метод:

---

Сначала линейная алгебра готова скопировать и вставить:

X = as.matrix(iris[,1:3])             # Three first variables of Iris dataset
CEN = scale(X, center = T, scale = T) # Centering and scaling the data
PCA = prcomp(CEN)

# EIGENVECTORS:
(evecs.ei = eigen(cor(CEN))$vectors)       # Using eigen() method
(evecs.svd = svd(CEN)$v)                   # PCA with SVD...
(evecs = prcomp(CEN)$rotation)             # Confirming with prcomp()

# EIGENVALUES:
(evals.ei = eigen(cor(CEN))$values)        # Using the eigen() method
(evals.svd = svd(CEN)$d^2/(nrow(X) - 1))   # and SVD: sing.values^2/n - 1
(evals = prcomp(CEN)$sdev^2)               # with prcomp() (needs squaring)

# SCORES:
scr.svd = svd(CEN)$u %*% diag(svd(CEN)$d)  # with SVD
scr = prcomp(CEN)$x                        # with prcomp()
scr.mm = CEN %*% prcomp(CEN)$rotation      # "Manually" [data] [eigvecs]

# LOADINGS:

loaded = evecs %*% diag(prcomp(CEN)$sdev)  # [E-vectors] [sqrt(E-values)]

---

1. Воспроизведение участка загрузки (стрелки):

Здесь очень помогает геометрическая интерпретация этого поста @ttnphns . Обозначения диаграммы в посте были сохранены: обозначает переменную в предметном пространстве . ч ' представляет собой соответствующий стрелок в конечном счете , нанесено; и координаты a 1 и a 2 являются компонентом, загружающим переменную V относительно ПК 1 и ПК 2 :$V$Sepal L.$h'$$a_1$$a_2$$V$$\small \text{PC} 1$$\small \text{PC} 2$

---

---

Компонент переменной по Sepal L.отношению к будет тогда:$\small\text{PC}1$

$$\begin{align} a_1 &= h\cdot\cos(\phi)\\[2ex] \end{align}$$

$\small\text{PC}1$$\small\text{S}1$

$\Vert\text{S}1\Vert = \sqrt{\sum_1^n \text{scores}_1^2} = 1$$V\cdot \text{S}1$

$$\begin{align} a_1 &= V\cdot \text{S}1\\[2ex] &=\Vert V\Vert\,\Vert \text{S}1\Vert\, \cos(\phi)\\[2ex] &= h\times 1\times \cdot\cos(\phi)\tag{1} \end{align}$$

$\Vert V \Vert=\sqrt{\small{\sum x^2}}$

$$\sqrt{\small{\text{Var}(V)}}=\frac{\sqrt{\small{\sum x^2}}}{\sqrt{n-1}}=\frac{\Vert V \Vert}{\sqrt{n-1}} \implies \Vert V\Vert =h=\sqrt{\small{\text{var}(V)}} \sqrt {n-1}.$$

Точно так же,

$$\Vert\text{S}1\Vert=1=\sqrt{\small \text{var(S}1)}\sqrt {n-1}.$$

$(1)$

$$a_1=h\times 1\times \cdot\cos(\phi)=\sqrt{\small{\text{var}(V)}}\,\sqrt{\small{\text{var}(\text{S}1)}}\, \cos(\theta) \;(n-1)$$

$\cos(\phi)$$r$$n-1$

Дублируя и перекрывая синим цветом красные стрелки biplot()

par(mfrow = c(1,2)); par(mar=c(1.2,1.2,1.2,1.2))

biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) # R biplot
# R biplot with overlapping (reproduced) arrows in blue completely covering red arrows:
biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) 
arrows(0, 0,
       cor(X[,1], scr[,1]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       cor(X[,1], scr[,2]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
arrows(0, 0,
       cor(X[,2], scr[,1]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       cor(X[,2], scr[,2]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
arrows(0, 0,
       cor(X[,3], scr[,1]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       cor(X[,3], scr[,2]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)

---

Точки интереса:

• Стрелки могут быть воспроизведены как корреляция исходных переменных с оценками, сгенерированными первыми двумя основными компонентами.
• $\mathbf{ V*S}$

или в коде R:

    biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) # R biplot
    # R biplot with overlapping arrows in blue completely covering red arrows:
    biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) 
    arrows(0, 0,
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[1,1] * 0.8, 
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[1,2] * 0.8, 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
    arrows(0, 0,
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[2,1] * 0.8, 
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[2,2] * 0.8, 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
    arrows(0, 0,
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[3,1] * 0.8, 
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[3,2] * 0.8, 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)

или даже пока ...

    biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) # R biplot
    # R biplot with overlapping (reproduced) arrows in blue completely covering red arrows:
    biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) 
    arrows(0, 0,
       (loaded)[1,1] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       (loaded)[1,2] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
    arrows(0, 0,
       (loaded)[2,1] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       (loaded)[2,2] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
    arrows(0, 0,
       (loaded)[3,1] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       (loaded)[3,2] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)

связывая с геометрическим объяснением загрузок @ttnphns , или этот другой информативный пост также @ttnphns .

• Существует коэффициент масштабирования sqrt(nrow(X) - 1), который остается загадкой.

• $0.8$

Кроме того, следует сказать, что стрелки построены так, что центр текстовой метки находится там, где он должен быть! Стрелки затем умножаются на 0.80.8 перед построением графика, то есть все стрелки короче, чем они должны быть, предположительно, для предотвращения наложения с текстовой меткой (см. Код для biplot.default). Я нахожу это чрезвычайно запутанным. - амеба 19 марта 15 в 10:06

---

2. Построение графика biplot()результатов (и стрелок одновременно):

$\mathbf U$$\mathbf U$

В конструкции биплота используются две разные шкалы на нижней и верхней горизонтальных осях:

Однако относительный масштаб не сразу очевиден, требуя углубления в функции и методы:

biplot()$\mathbf U$

> scr.svd = svd(CEN)$u %*% diag(svd(CEN)$d) 
> U = svd(CEN)$u
> apply(U, 2, function(x) sum(x^2))
[1] 1 1 1

Принимая во внимание, что prcomp()функция в R возвращает баллы, масштабированные до их собственных значений:

> apply(scr, 2, function(x) var(x))         # pr.comp() scores scaled to evals
       PC1        PC2        PC3 
2.02142986 0.90743458 0.07113557 
> evals                                     #... here is the proof:
[1] 2.02142986 0.90743458 0.07113557

$1$

> scr_var_one = scr/sqrt(evals)[col(scr)]  # to scale to var = 1
> apply(scr_var_one, 2, function(x) var(x)) # proved!
[1] 1 1 1

$1$$\sqrt{n-1}$

$$\small \text{var}(\text{scr_var_one})= 1 =\frac{\sum_1^n \text{scr_var_one}}{n -1}$$

> scr_sum_sqrs_one = scr_var_one / sqrt(nrow(scr) - 1) # We / by sqrt n - 1.
> apply(scr_sum_sqrs_one, 2, function(x) sum(x^2))     #... proving it...
PC1 PC2 PC3 
  1   1   1

$\sqrt{n-1}$$\sqrt{n}$lan

prcomp$n-1$$n - 1$

---

После снятия с них всех ifзаявлений и других бытовых чисток biplot()поступает следующим образом:

X   = as.matrix(iris[,1:3])                    # The original dataset
CEN = scale(X, center = T, scale = T)          # Centered and scaled
PCA = prcomp(CEN)                              # PCA analysis

par(mfrow = c(1,2))                            # Splitting the plot in 2.
biplot(PCA)                                    # In-built biplot() R func.

# Following getAnywhere(biplot.prcomp):

choices = 1:2                                  # Selecting first two PC's
scale = 1                                      # Default
scores= PCA$x                                  # The scores
lam = PCA$sdev[choices]                        # Sqrt e-vals (lambda) 2 PC's
n = nrow(scores)                               # no. rows scores
lam = lam * sqrt(n)                            # See below.

# at this point the following is called...
# biplot.default(t(t(scores[,choices])      /  lam), 
#                t(t(x$rotation[,choices]) *   lam))

# Following from now on getAnywhere(biplot.default):

x = t(t(scores[,choices])       / lam)         # scaled scores
# "Scores that you get out of prcomp are scaled to have variance equal to      
#  the eigenvalue. So dividing by the sq root of the eigenvalue (lam in 
#  biplot) will scale them to unit variance. But if you want unit sum of 
#  squares, instead of unit variance, you need to scale by sqrt(n)" (see comments).
# > colSums(x^2)
# PC1       PC2 
# 0.9933333 0.9933333    # It turns out that the it's scaled to sqrt(n/(n-1)), 
# ...rather than 1 (?) - 0.9933333=149/150

y = t(t(PCA$rotation[,choices]) * lam)         # scaled eigenvecs (loadings)


n = nrow(x)                                    # Same as dataset (150)
p = nrow(y)                                    # Three var -> 3 rows

# Names for the plotting:

xlabs = 1L:n
xlabs = as.character(xlabs)                    # no. from 1 to 150 
dimnames(x) = list(xlabs, dimnames(x)[[2L]])   # no's and PC1 / PC2

ylabs = dimnames(y)[[1L]]                      # Iris species
ylabs = as.character(ylabs)
dimnames(y) <- list(ylabs, dimnames(y)[[2L]])  # Species and PC1/PC2

# Function to get the range:
unsigned.range = function(x) c(-abs(min(x, na.rm = TRUE)), 
                                abs(max(x, na.rm = TRUE)))
rangx1 = unsigned.range(x[, 1L])               # Range first col x
# -0.1418269  0.1731236
rangx2 = unsigned.range(x[, 2L])               # Range second col x
# -0.2330564  0.2255037
rangy1 = unsigned.range(y[, 1L])               # Range 1st scaled evec
# -6.288626   11.986589
rangy2 = unsigned.range(y[, 2L])               # Range 2nd scaled evec
# -10.4776155   0.8761695

(xlim = ylim = rangx1 = rangx2 = range(rangx1, rangx2))
# range(rangx1, rangx2) = -0.2330564  0.2255037

# And the critical value is the maximum of the ratios of ranges of 
# scaled e-vectors / scaled scores:

(ratio = max(rangy1/rangx1, rangy2/rangx2)) 
# rangy1/rangx1   =   26.98328    53.15472
# rangy2/rangx2   =   44.957418   3.885388
# ratio           =   53.15472

par(pty = "s")                                 # Calling a square plot

# Plotting a box with x and y limits -0.2330564  0.2255037
# for the scaled scores:

plot(x, type = "n", xlim = xlim, ylim = ylim)  # No points
# Filling in the points as no's and the PC1 and PC2 labels:
text(x, xlabs) 
par(new = TRUE)                                # Avoids plotting what follows separately

# Setting now x and y limits for the arrows:

(xlim = xlim * ratio)  # We multiply the original limits x ratio
# -16.13617  15.61324
(ylim = ylim * ratio)  # ... for both the x and y axis
# -16.13617  15.61324

# The following doesn't change the plot intially...
plot(y, axes = FALSE, type = "n", 
     xlim = xlim, 
     ylim = ylim, xlab = "", ylab = "")

# ... but it does now by plotting the ticks and new limits...
# ... along the top margin (3) and the right margin (4)
axis(3); axis(4)
text(y, labels = ylabs, col = 2)  # This just prints the species

arrow.len = 0.1                   # Length of the arrows about to plot.

# The scaled e-vecs are further reduced to 80% of their value
arrows(0, 0, y[, 1L] * 0.8, y[, 2L] * 0.8, 
       length = arrow.len, col = 2)

который, как и ожидалось, воспроизводит (правое изображение внизу) biplot()вывод, вызванный напрямую biplot(PCA)(левый график ниже) во всех его нетронутых эстетических недостатках:

Точки интереса:

• Стрелки построены в масштабе, связанном с максимальным отношением между масштабированным собственным вектором каждого из двух основных компонентов и их соответствующими масштабированными показателями (the ratio). AS @amoeba комментирует:

график рассеяния и «график стрелки» масштабируются таким образом, чтобы наибольшая (по абсолютной величине) координата стрелки x или y стрелки была точно равна наибольшей (по абсолютной величине) координате x или y точек рассеянных данных

• $\mathbf U$

---