Бутстрап, Монте-Карло

Мне задали следующий вопрос в рамках домашней работы:

Разработайте и внедрите имитационное исследование, чтобы изучить производительность начальной загрузки для получения 95% доверительных интервалов по среднему значению однофакторной выборки данных. Ваша реализация может быть в R или SAS.

Аспектами эффективности, которые вы, возможно, захотите рассмотреть, являются покрытие доверительного интервала (т. Е. Какая доля раз, когда доверительный интервал содержит истинное среднее значение) и вариация Монте-Карло (т. Е. Насколько различаются верхний и нижний доверительные пределы между симуляциями) '

Кто-нибудь знает, как это сделать в вариативном аспекте Монте-Карло? Я не могу даже разработать алгоритм или еще что-нибудь. Это связано с интеграцией Монте-Карло? Благодаря!

Эта путаница между процедурами начальной загрузки и процедурами Монте-Карло повторяется, поэтому, возможно, это лучшее место для решения этой проблемы. (Примеры Rкода могут помочь с домашней работой.)

Рассмотрим эту реализацию начальной загрузки в R:

boot <- function(x, t) { # Exact bootstrap of procedure t on data x
    n <- length(x)       # Must lie between 2 and 7 inclusive.
    if (n > 7) {
        stop("Sample size exceeds 7; use an approximate method instead.")
    }
    p <- c(n, 1:(n-1))
    a <- rep(x, n^(n-1))
    dim(a) <- rep(n, n)
    y <- as.vector(a)
    while (n > 1) {
        n <- n-1
        a <- aperm(a, p)
        y <- cbind(as.vector(a), y)
    }
    apply(y, 1, t)
}

Быстрый просмотр подтвердит, что это детерминированный расчет: случайные значения не генерируются и не используются. (Я оставлю детали его внутренней работы для заинтересованных читателей, чтобы выяснить для себя.)

Аргументы to bootпредставляют собой набор числовых данных в массиве xи ссылку tна функцию (которая может быть применена к массивам точно так же x) для возврата одного числового значения; другими словами, tэто статистика . Он генерирует все возможные образцы с заменой от xи применяется tк каждому из них, в результате чего получает один номер для каждого такого образца: Это самозагрузки в двух словах. Возвращаемое значение представляет собой массив , представляющий точное распределение начальной загрузки из tдля образца x.

В качестве крошечного примера давайте загрузим среднее значение для образца x= c(1,3):

> boot(c(1,3), mean)
> [1] 1 2 2 3

$2$$(1,3)$$(1,1)$$(1,3)$$(3,1)$$(3,3)$boottt$1$$2$$2$$3$соответственно, как показано на выходе.

$(1,3,3,4,7)$

hist(boot(c(1,3,3,4,7), sd))

$5$

> set.seed(17)
> quantile(boot(runif(5, min=0, max=10), sd), .95)[1]
     95% 
3.835870 

Результат для этой конкретной случайной выборки составляет 3,83587. Это определенно: если бы вы позвонили bootснова с тем же набором данных, ответ был бы точно таким же. Но как может измениться ответ с разными случайными выборками? Узнайте, повторив этот процесс несколько раз и нарисовав гистограмму результатов:

> boot.sd <- replicate(100, quantile(boot(runif(5, min=0, max=10), sd), .95)[1])
> hist(boot.sd)

$0$$10$$10/\sqrt{12} \approx 2.887$

> length(boot.sd[boot.sd >= 10/sqrt(12)]) / length(boot.sd)
[1] 0.75

Но это далеко от номинальных 95%, которые мы указали (и надеялись)! Это одна из ценностей симуляции: она сравнивает наши надежды с тем, что действительно происходит. (Почему несоответствие? Я полагаю, это потому, что загрузка SD не работает с очень маленькими выборками.)

Рассмотрение

• Статистика начальной загрузки концептуально такая же, как и любая другая статистика, такая как среднее или стандартное отклонение; они просто тратят много времени на вычисления. (Смотрите предупреждающее сообщение в bootкоде!)

• Симуляция Монте-Карло может быть полезна для изучения того, как меняется статистика начальной загрузки из-за случайности в получении выборок. Изменения, наблюдаемые при таком моделировании, обусловлены изменением в образцах, а не изменением в начальной загрузке.

• $n^n$$n$

Бутстрап - это метод Монте-Карло, который включает в себя некоторый тип случайной выборки. Если вы дважды запустите загрузчик на одном и том же наборе данных, вы получите разные ответы. Чем больше сэмплов вы используете в начальной загрузке, тем меньше вариаций.

Охват относится к изменению результатов для разных наборов данных из одного и того же гипотетического распределения выборки.

Я не уверен, что подразумевается под « вариацией Монте-Карло » как таковой. Конечно, должно быть возможно посмотреть на то, как сильно различаются итерации в таких вещах, как значение верхнего (или нижнего) предела, например (подсказка). Возможно, они хотят, чтобы вы делали это только для Монте-Карло, а не для начальной загрузки? Это не требование для упражнения, хотя. Лучше всего просто спросить, что означает эта фраза.

Насколько я понимаю, это домашнее задание заключается в том, что он просит вас провести симуляцию по методу Монте-Карло для определенной статистической техники. То есть вы моделируете несколько случайных наборов данных, применяете эту технику к этим наборам данных и сохраняете числа для последующего удобного суммирования (средние значения, моделируемые вероятности и т. Д.).

Теперь рассматриваемая методика - это бутстрап, который включает в себя симуляцию Монте-Карло внутри нее (если, как не показано, вас попросят выполнить точный бутстрап, что весьма маловероятно). Таким образом, в качестве результатов вашего моделирования вы можете хранить среднее значение выборки, стандартное отклонение выборки и пределы доверительного интервала для среднего значения, полученного при начальной загрузке.

$n=10$