Заинтригованный вопросом на math.stackexchange и исследующий его эмпирически, я задаюсь вопросом о следующем утверждении о квадратном корне из сумм iid случайных величин.
Предположим, что - это случайные величины с конечным ненулевым средним и дисперсией и . Центральная предельная теорема гласит: при увеличении . μ σ 2 Y = n ∑ i = 1 X i Y - n μn
Если , могу ли я также сказать что-то вроде при увеличении ?Z - √n
Например, предположим, что - это Бернулли со средним и дисперсией , тогда является биномиальным, и я могу смоделировать это в R, скажем, с : p p ( 1 - p ) Y p = 1
set.seed(1)
cases <- 100000
n <- 1000
p <- 1/3
Y <- rbinom(cases, size=n, prob=p)
Z <- sqrt(abs(Y))
что дает примерно ожидаемое среднее значение и дисперсию для
> c(mean(Z), sqrt(n*p - (1-p)/4))
[1] 18.25229 18.25285
> c(var(Z), (1-p)/4)
[1] 0.1680012 0.1666667
и сюжет QQ, который выглядит близко к гауссову
qqnorm(Z)