Означает ли среднее = мода симметричное распределение?

30

Я знаю, что этот вопрос задавался со средним регистром = медианой, но я не нашел ничего, связанного со средним = модой.

Если мода равна среднему значению, могу ли я всегда заключить, что это симметричное распределение? Буду ли я вынужден знать также медиану для этого способа?

— tzipy
источник

stats.stackexchange.com/questions/125084

— whuber

2

Многие биномиальные распределения искажены, но имеют среднее значение = мода.

— Ник Кокс

62

Среднее = мода не подразумевает симметрию.

Даже если среднее значение = медиана = мода, вы все равно не обязательно будете иметь симметрию.

И в ожидании потенциального продолжения - даже если среднее значение = медиана = мода и третий центральный момент равен нулю (таким образом, асимметрия моментов равна 0), вы все равно не обязательно будете иметь симметрию.

... но было продолжение этого. NickT спросил в комментариях, достаточно ли иметь все нечетные моменты ноль, чтобы требовать симметрии. Ответ на это тоже нет. [Смотрите обсуждение в конце. ] $^\dagger$

Все эти различные вещи подразумеваются симметрией (при условии, что соответствующие моменты конечны), но смысл не идет другим путем - несмотря на то, что многие элементарные тексты ясно говорят об одном или нескольких из них иначе.

Контрпримеры довольно тривиальны для построения.

Рассмотрим следующее дискретное распределение:

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

Оно имеет среднее значение, медиану, моду и третий центральный момент (и, следовательно, асимметрию моментов) все 0, но оно асимметрично.

Этот пример также может быть сделан с чисто непрерывным распределением. Например, вот плотность с такими же свойствами:

Это смесь симметричных треугольных плотностей (каждая с диапазоном 2) со средними значениями при -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5 и весами смесей 0,08, 0,08, 0,12, 0,08, 0,28, 0,08 0,08, 0,20 соответственно. Тот факт, что я только что сделал это сейчас - никогда раньше не видел - наводит на мысль, насколько просто построить эти случаи.

[Я выбрал треугольные компоненты смеси для того, чтобы мода была визуально однозначной - можно было бы использовать более плавное распределение.]

Вот еще один отдельный пример для ответа на вопросы Хон Ооя о том, насколько далеки от симметрии эти условия. Это ни в коем случае не ограничивающий случай, это просто иллюстрация того, как просто сделать менее симметрично выглядящий пример:

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

Пик в 0 может быть сделан относительно выше или ниже без изменения условий; аналогично, точка вправо может быть размещена еще дальше (с уменьшением вероятности) без значительного изменения относительных высот на 1 и -2 (т. е. их относительная вероятность останется близкой к соотношению 2: 1 при перемещении вправо). стих о).

Более подробно об ответе на вопрос NickT

$\dagger$ Случай нуля с нечетными моментами рассматривается в ряде вопросов на сайте. Там пример здесь (см график) , основанный на деталях здесь (см в конце ответа). Это непрерывная унимодальная асимметричная плотность со всеми нечетными моментами 0 и средним значением = медиана = мода. Медиана 0 при построении смеси 50-50, мода 0 при проверке - все члены семейства на реальной полуоси, из которой построен пример, имеют монотонную плотность, уменьшающуюся от конечного значения в начале координат , а среднее значение равно нулю, потому что все нечетные моменты равны 0.

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

7

Я думаю, что мораль этой истории такова: симметрия является сильным свойством и не может быть выведена из нескольких типичных итоговых значений распределения.

— Кодиолог

Интересный вопрос может заключаться в том, насколько «близки» к симметрии вы можете получить с этими свойствами. Глядя на ваш дискретный пример, он вроде симметричный с горбом в середине.

— Hong Ooi

@HongOoi Полагаю, вы хотите спросить, как далеко вы можете продвинуться, а не как близко (поскольку, очевидно, вы можете сделать его абсолютно симметричным в любое время). Вы можете сделать это намного более асимметричным, чем мой пример - это был просто удобный случай.

— Glen_b

@HongOoi Я добавил еще один пример.

— Glen_b

Если все (нечетные?) Моменты за пределами дисперсии равны 0, произойдет ли это только тогда, когда будет симметричное распределение?

— Ник Т

18

Попробуйте этот набор чисел:

\begin{aligned} X & = {2, 3, 5, 5, 10} \\ m e a n (X) & = 5 \\ m e d i a n (X) & = 5 \\ m o d e (X) & = 5 \end{aligned}

$\begin{align} X &= \{2,3,5,5,10\} \\[10pt] {\rm mean}(X) &= 5 \\ {\rm median}(X) &= 5 \\ {\rm mode}(X) &= 5 \end{align}$

Я бы не назвал это распределение симметричным.

— Gung - Восстановить Монику
источник

10

Нет.

Пусть - дискретная случайная величина с , и . Очевидно, что не является симметричным, но его среднее значение и мода равны 0. $X$ $p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$ $p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$ $p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$ $X$

— Kodiologist
источник

5

Чтобы повторить ответ, который я дал в другом месте , но подходит и здесь:

P (X = n) = {\begin{cases} 0.03 & n = - 3 \\ 0.04 & n = - 2 \\ 0.25 & n = - 1 \\ 0.40 & n = 0 \\ 0.15 & n = 1 \\ 0.12 & n = 2 \\ 0.01 & n = 3 \end{cases}

$\mathbb{P}(X=n) = \left\{ \begin{array}{ll} 0.03 & n=-3 \\ 0.04 & n=-2 \\ 0.25 & n=-1 \\ 0.40 & n=0 \\ 0.15 & n=1 \\ 0.12 & n=2 \\ 0.01 & n=3 \end{array} \right.$

который не только имеет среднее значение, медиану и моду все равны, но также имеет нулевую асимметрию. Возможны многие другие версии.

— Генри
источник