Может ли кто-нибудь помочь объяснить разницу между независимым и случайным?

В статистике описывают ли независимые и случайные одинаковые характеристики? Какая разница между ними? Мы часто сталкиваемся с описанием типа «две независимые случайные величины» или «случайная выборка». Мне интересно, какова точная разница между ними. Может кто-нибудь объяснить это и привести несколько примеров? например, независимый, но случайный процесс?

Я попытаюсь объяснить это нетехническими терминами: случайная величина описывает результат эксперимента; вы не можете заранее знать, каким будет точный результат, но у вас есть некоторая информация: вы знаете, какие результаты возможны, и вы знаете, для каждого результата, его вероятность.

Например, если вы бросаете честную монету, вы не знаете заранее, получите ли вы голову или хвост, но вы знаете, что это возможные результаты, и вы знаете, что у каждого из них есть 50% -ная вероятность появления.

Чтобы объяснить независимость, вы должны бросить две честные монеты. После броска первой монеты вы знаете, что для второго броска вероятность головы все еще равна 50%, а для хвоста также. Если первый бросок не влияет на вероятности второго, то оба броска независимы. Если первый бросок влияет на вероятности второго броска, то они зависят.

Пример зависимых бросков - когда вы склеиваете две монеты вместе.

Случайная относится к случайной переменной , а независимая относится к вероятностной независимости. Под независимостью мы подразумеваем, что наблюдение одной переменной ничего не говорит нам о другой, или в более формальных терминах, если и Y две случайные переменные, то мы говорим, что они независимы, если$X$$Y$

более того

и их ковариация равна нулю. Случайная переменная зависит от X, если она может быть записана как функция от $Y$$X$$X$

Таким образом , в этом случае является случайным и зависит от X .$Y$$X$

Называть процесс «независимым» довольно обманчиво - независимо от чего? Я предполагаю, что вы имели в виду, что есть некоторые независимых и одинаково распределенных случайных величин (отметьте здесь или здесь ), которые происходят из некоторого процесса. Под независимым мы подразумеваем здесь, что они независимы друг от друга. Существуют процессы, производящие зависимые случайные величины, например$X_1,\dots,X_k$

где - некоторый случайный шум. Очевидно, что в таком случае X i зависит от X i - 1 , но также является случайным.$\varepsilon$$X_i$$X_{i-1}$

Переменные используются во всех областях математики. Определения независимости и случайности переменной применяются в одностороннем порядке ко всем формам математики, а не только к статистике.

Например, оси X и Y в 2-мерной евклидовой геометрии представляют независимые переменные, однако их значения (обычно) не назначаются случайным образом.

Две заданные переменные могут быть случайными или независимыми (друг от друга), или от обоих, или ни от одного. Статистика имеет тенденцию сосредотачиваться на случайности (точнее, на вероятности), и то, являются ли две переменные независимыми, может иметь много последствий для вероятностей наблюдаемых результатов.

Вы склонны видеть эти два свойства (независимость и случайность), описанные вместе, при изучении статистики, потому что оба они важны для понимания и могут влиять на ответ на поставленный вопрос. Однако эти свойства не являются синонимами, и в других областях математики они не обязательно встречаются вместе.

Понятие независимости относительно, в то время как вы можете быть случайным самостоятельно. В вашем примере у вас есть «две независимые случайные величины», и вам не нужно говорить о нескольких «случайных выборках».

Предположим, вы бросили идеальный кубик несколько раз. Результат априорно случайный. Зная прошлое, вы не можете предсказать число после 4. Предположим, я сгенерировал последовательность с другой стороны матрицы: 6 → 1 , 3 → 4 . Я получаю 1 , 2 , 4 , 2 , 3 ... . Это так же случайно, как и первый. Вы не можете угадать, что будет после 3 . Но две последовательности полностью зависимы.$6,5,3,5, 4\ldots$$6\to1$$3\to4$$1,2,4,2, 3\ldots$$3$

Если бросить два кубика параллельно (без взаимодействия между ними), их соответствующие последовательности будут случайными и независимыми.

Когда у вас есть пара значений, когда первое генерируется случайным образом, а второе имеет какую-либо зависимость от первого. например, рост и вес человека. Между ними есть корреляция. Но они оба случайны.

Пример с монетой является отличной иллюстрацией случайной и независимой переменной, хорошим хорошим способом представить случайную, но зависимую переменную будет следующая карта, взятая из колоды игральных карт из семи колод, - вероятность - любого конкретного числового результата меняется в зависимости от ранее раздачи карт, но до тех пор, пока в колодке не останется только одно значение карты, ценность следующей карты будет оставаться случайной.

Дэвид Бом в своей работе «Причинность и случайность в современной физике» (Лондон: Routledge, 1957/1984) описывает причинность, случайность, случайность и независимость:

«В природе ничто не остается постоянным. Все находится в постоянном состоянии трансформации, движения и изменения. Однако мы обнаруживаем, что ничто просто не вырастает из ничего, если не было предшествующих предшественников. Аналогично, ничто никогда не исчезает без следа, в ощущение, что это порождает абсолютное ничто, существующее в более поздние времена ... .... все исходит из других вещей и порождает другие вещи. Этот принцип еще не является утверждением о существовании причинности в природе. Чтобы прийти к причинности, затем следует отметить, что, изучая процессы, происходящие в широком диапазоне условий, мы обнаруживаем, что внутри всей сложности изменений и трансформации существуют взаимосвязикоторые остаются фактически постоянными. .... На этом этапе, однако, мы сталкиваемся с новой проблемой. Ибо необходимость причинного закона никогда не бывает абсолютной. Таким образом, мы видим, что нужно понимать закон природы как необходимый только в том случае, если он абстрагируется от непредвиденных обстоятельств , представляющих собой по существу независимые факторы, которые могут существовать вне рамок вещей, которые могут рассматриваться в рассматриваемых законах, и которые не обязательно следуют из всего, что может быть указано в контексте этих законов. Такие непредвиденные обстоятельства приводят к случайности . "(Стр. 1-2)

«Тенденция к тому, что непредвиденные обстоятельства, лежащие вне данного контекста, колеблются независимо от того, что происходит внутри этого контекста, продемонстрировала настолько широкое распространение, что можно сформулировать его как принцип, а именно, принцип случайности. Под случайностью мы подразумеваем именно то, что эта независимость ведет колебания этих непредвиденных обстоятельств очень сложным образом в широком диапазоне возможностей, но таким образом, чтобы статистические средние имели регулярное и приблизительно предсказуемое поведение ". (С.22)