Являются ли случайные величины

Можем ли мы что-нибудь сказать о зависимости случайной величины и функции от случайной величины? Например, зависит ли $X^2$ от $X$ ?

Вот подтверждение комментария @ cardinal с небольшим поворотом. Если X и f ( X ) независимы, то P ( X ∈ A ∩ f - 1 ( B ) ) = P ( X ∈ A , f ( X ) ∈ B $X$$f(X)$= P ( X ∈ A ) P ( f ( X ) ∈ B )= P ( X ∈ A ) P ( X ∈ f - 1 ( B ) ) ПринимаяA=f-1(B),получаем уравнение P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2, который имеет два решения 0 и 1. Таким образом,P(f(X

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ $A = f^{-1}(B)$ $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ ) B ) ∈ { 0 , 1 } для всех Б. В полной общности невозможно сказать больше. Если X и f ( $P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$$B$$X$ ) независимы, то f ( X ) является переменной, такой, что для любого B он находится либо в B, либо в B c с вероятностью 1. Чтобы сказать больше, нужно больше предположений, например, что синглтон устанавливает { б $f(X)$$f(X)$$B$$B$$B^c$$\{b\}$ измеримы.

Однако детали на теоретическом уровне меры, похоже, не являются главной заботой ОП. Если X вещественное и f вещественная функция (и мы используем , скажем, борелевскую σ- алгебру), то из B = ( - ∞ , b ] следует, что функция распределения для распределения f ( X ) принимает только значения 0 и 1, следовательно, есть b, при котором он переходит с 0 на 1 и P ( f ( X ) = b ) = $X$$f$$\sigma$$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$$0$$1$$P(f(X) = b) = 1$,

В конце концов, ответ на вопрос OPs заключается в том, что X и f ( X ), как правило, зависимы и независимы только в очень особых обстоятельствах. Кроме того, мера Дирака δ е ( х ) всегда имеет право на условное распределение ф ( X ) данного X = х , что формальный способ сказать , что знание X = х , то вы знаете точно , что F ( X $X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$$f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$является. Эта особая форма зависимости с вырожденным условным распределением характерна для функций случайных величин.

Lemma: Let $X$ be a random variable and let $f$ be a (Borel measurable) function such that $X$ and $f(X)$ are independent. Then $f(X)$ is constant almost surely. That is, there is some $a \in \mathbb R$ such that $\mathbb P(f(X) = a) = 1$.

The proof is below; but, first, some remarks. The Borel measurability is just a technical condition to ensure that we can assign probabilities in a reasonable and consistent way. The "almost surely" statement is also just a technicality.

The essence of the lemma is that if we want $X$ and $f(X)$ to be independent, then our only candidates are functions of the form $f(x) = a$.

Contrast this with the case of functions $f$ such that $X$ and $f(X)$ are uncorrelated. This is a much, much weaker condition. Indeed, consider any random variable $X$ with mean zero, finite absolute third moment and that is symmetric about zero. Take $f(x) = x^2$, as in the example in the question. Then $\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$, so $X$ and $f(X) = X^2$ are uncorrelated.

Below, I give the simplest proof I could come up with for the lemma. I've made it exceedingly verbose so that all the details are as obvious as possible. If anyone sees ways to improve it or simplify it, I'd enjoy knowing.

Idea of proof: Intuitively, if we know $X$, then we know $f(X)$. So, we need to find some event in $\sigma(X)$, the sigma algebra generated by $X$, that relates our knowledge of $X$ to that of $f(X)$. Then, we use that information in conjunction with the assumed independence of $X$ and $f(X)$ to show that our available choices for $f$ have been severely constrained.

Proof of lemma: Recall that $X$ and $Y$ are independent if and only if for all $A \in \sigma(X)$ and $B \in \sigma(Y)$, $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$. Let $Y = f(X)$ for some Borel measurable function $f$ such that $X$ and $Y$ are independent. Define $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$. Then,

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ and since $(-\infty,y]$ is a Borel set and $f$ is Borel-measurable, then $f^{-1}((-\infty,y])$ is also a Borel set. This implies that $A(y) \in \sigma(X)$ (by definition(!) of $\sigma(X)$).

Since $X$ and $Y$ are assumed independent and $A(y) \in \sigma(X)$, then

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ and this holds for all $y \in \mathbb R$. But, by definition of $A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ Combining these last two, we get that for every $y \in \mathbb R$, $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ so $\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or $\Pr(f(X) \leq y) = 1$. This means there must be some constant $a \in \mathbb R$ such that the distribution function of $f(X)$ jumps from zero to one at $a$. In other words, $f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.