Совместно полная достаточная статистика: равномерная (a, b)

Пусть $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ - случайная выборка из равномерного распределения на $(a,b)$ , где $a < b$ . Пусть $Y_1$ и $Y_n$ будут статистикой наибольшего и наименьшего порядка. Покажите, что статистика $(Y_1, Y_n)$ является совместно полной достаточной статистикой для параметра $\theta = (a, b)$ ,

Для меня не проблема показать достаточность с помощью факторизации.

Вопрос: Как мне показать полноту? Желательно, чтобы мне была подсказка.

Попытка: я могу показать, что $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ подразумевает $g(T(x)) = 0$ для равномерного распределения с одним параметром, но я застреваю на равномерном распределении с двумя параметрами.

Я попытался поиграться с $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ и использовать совместное распределение $Y_1$ и $Y_n$ , но я не уверен, иду ли я в правильном направлении, так как исчисление сбивает меня с толку.

— emlu
источник

Пожалуйста, добавьте [self-study]тег и прочитайте его вики . Обратите внимание, что вы можете использовать латексное форматирование для математики, вкладывая доллары, например, $x$ производит

. Я пытался набрать некоторые из ваших математику, но не стесняйтесь изменить или отменить, если вы не довольны результатом. Вы можете предпочесть запись для

вместо для

x

$x$ $\vec x$

\vec{x}

$\vec x$ $\mathbf x$

x

$\mathbf x$

— Серебряная рыба

Давайте позаботимся о рутинном исчислении для вас, чтобы вы могли понять суть проблемы и получить удовольствие от формулировки решения. Все сводится к построению прямоугольников как союзов и отличий треугольников.

Сначала выберите значения и которые сделают детали максимально простыми. $a$ $b$ Мне нравится : одномерная плотность любого компонента является просто индикаторной функцией интервала . $a=0,b=1$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $[0,1]$

Найдем функцию распределения of . $F$ $(Y_1,Y_n)$ По определению для любых действительных чисел это $y_1 \le y_n$

\begin{matrix} (1) & F (y_{1}, y_{n}) = Pr (Y_{1} \leq y_{1} and Y_{n} \leq y_{n}) . \end{matrix}

$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$

Значения , очевидно, равны или если любой из или находится вне интервала , поэтому давайте предположим, что они оба находятся в этом интервале. (Давайте также предположим, что чтобы избежать обсуждения тривиальностей.) В этом случае событие можно описать в терминах исходных переменных как «хотя бы один из меньше или равно и ни один из превышает . " Эквивалентно, все лежат в $F$ $0$ $1$ $y_1$ $y_n$ $[a,b] = [0,1]$ $n\ge 2$ $(1)$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $X_i$ $y_1$ $X_i$ $y_n$ $X_i$ $[0,y_n]$ но это не тот случай, когда все они лежат . $(y_1,y_n]$

Поскольку независимы, их вероятности умножаются и дают и соответственно для этих двух только что упомянутых событий. Таким образом, $X_i$ $(y_n-0)^n = y_n^n$ $(y_n-y_1)^n$

F (y_{1}, y_{n}) = y_{n}^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n} .

$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$

Плотность представляет собой смешанную частную производную , $f$ $F$

f (y_{1}, y_{n}) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{1} \partial y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = n (n - 1) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$

Общий случай для масштабирует переменные на коэффициент и смещает местоположение на . $(a,b)$ $b-a$ $a$ Таким образом, для , $a \lt y_1 \le y_n \lt b$

F (y_{1}, y_{n}; a, b) = ({(\frac{y_{n} - a}{b - a})}^{n} - {(\frac{y_{n} - a}{b - a} - \frac{y_{1} - a}{b - a})}^{n}) = \frac{(y_{n} - a)^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n}}{(b - a)^{n}} .

$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$

Различая, как и прежде, мы получаем

f (y_{1}, y_{n}; a, b) = \frac{n (n - 1)}{(b - a)^{n}} (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$

Рассмотрим определение полноты. Пусть - любая измеримая функция двух действительных переменных. По определению, $g$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} E [g (Y_{1}, Y_{n})] & = \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) f (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \\ \propto \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} d y_{1} d y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$

Нам нужно показать, что когда это ожидание равно нулю для всех , то наверняка для любого . $(a,b)$ $g=0$ $(a,b)$

Вот твой намек. Пусть - любая измеримая функция. Я хотел бы выразить это в форме, предложенной как . Для этого, очевидно, мы должны разделить на . К сожалению, для это не определено всякий раз, когда . Ключ в том, что этот набор имеет нулевую меру, поэтому мы можем пренебречь им. $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $(2)$ $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$ $h$ $(y-x)^{n-2}$ $n\gt 2$ $y-x$

Соответственно, с учетом любого измеримого , определим $h$

g (x, y) = {\begin{matrix} h (x, y) / (y - x)^{n - 2} & x \neq y \\ 0 & x = y \end{matrix}

$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$

Тогда становится $(2)$

\begin{matrix} (3) & \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} h (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \propto E [g (Y_{1}, Y_{n})] . \end{matrix}

$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$

(Когда задача показывает, что что-то равно нулю, мы можем игнорировать ненулевые константы пропорциональности. Здесь я опустил с левой стороны.) $n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

Это интеграл по прямоугольному треугольнику с гипотенузой, простирающейся от до и вершиной в . Обозначим такой треугольник . $(a,a)$ $(b,b)$ $(a,b)$ $\Delta(a,b)$

Следовательно , вам нужно показать, что если интеграл произвольной измеримой функции по всем треугольникам равен нулю, то для любого , (почти наверняка) ) для всех . $h$ $\Delta(a,b)$ $a\lt b$ $h(x,y)=0$ $(x,y)\in \Delta(a,b)$

Хотя может показаться, что мы не продвинулись дальше, рассмотрим любой прямоугольник полностью содержащийся в полуплоскости . Это можно выразить в виде треугольников: $[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ $y \gt x$

[u_{1}, u_{2}] \times [v_{1}, v_{2}] = Δ (u_{1}, v_{2}) ∖ (Δ (u_{1}, v_{1}) \cup Δ (u_{2}, v_{2})) \cup Δ (u_{2}, v_{1}) .

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$

На этом рисунке прямоугольник - это то, что осталось от большого треугольника, когда мы удаляем перекрывающиеся красные и зеленые треугольники (которые дважды учитывают их коричневое пересечение), а затем заменяем их пересечение.

Следовательно, вы можете сразу сделать вывод, что интеграл от по всем таким прямоугольникам равен нулю. $h$ Осталось только показать, что должно быть равно нулю (кроме значений в некотором наборе нулей меры) всякий раз, когда . Доказательство этого (интуитивно понятного) утверждения зависит от того, какой подход вы хотите использовать для определения интеграции. $h(x,y)$ $y \gt x$

— Whuber
источник

Я пытался установить уравнение 3 равным нулю, взять производную с обеих сторон и поменять местами знаки (рефлекторное действие, я думаю), но результаты выглядят довольно страшно [1]. Есть ли более разумный подход? [1] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions

— Mugen

Рассмотрим конечные наборы меньших и меньших треугольников, которые все лежат вдоль гипотенузы на рисунке, и возьмем предел, поскольку диаметр самого большого треугольника в наборе стремится к нулю.

— whuber