Что значит сказать, что событие «в конце концов случится»?

Рассмотрим одномерное случайное блуждание по целым числам $\mathbb{Z}$ с начальным состоянием $x\in\mathbb{Z}$ :

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

где приращения $\xi_i$ равны IID, так что $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$ .

Можно доказать, что (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

где нижний индекс обозначает начальную позицию.

$\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Оба доказательства можно найти в http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Читая статью, я понимаю оба доказательства.

Мой вопрос, однако, в том, что означает «в конце концов» в первом утверждении, а также в целом. Если что-то происходит «в конце концов», это не должно происходить за конечное время, не так ли? Если так, то в чем разница между тем, что не происходит, и тем, что не происходит «в конце концов»? Утверждения (1) и (2) в некотором смысле противоречат мне. Есть ли другие примеры, подобные этому?

РЕДАКТИРОВАТЬ

Просто хочу добавить мотивацию для вопроса, т. Е. Простой пример того, что происходит «в конце концов», но с конечным ожидаемым временем ожидания.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Поэтому мы знаем, что ходок «в конечном итоге» переместится влево, и ожидаемое время ожидания перед этим (т. Е. Движение влево) будет . $1/(1/2)=2$

Видеть что-то, что происходит «в конце концов», но с бесконечно ожидаемым «временем ожидания», было довольно натянуто для моего воображения. Вторая половина ответа @ whuber - еще один замечательный пример.

— Е Тянь
источник

в конце концов нет означает в конечном итоге. Это именно то, что противопоставляется: P конечно, в то время как ожидание тау бесконечно

— seanv507

Ну, есть канонический пример распределения Коши en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

— seanv507

@ seanv507 - Да, хотя среднее значение распределения Коши является неопределенным, а не бесконечным (выборочное среднее из dbn Коши будет прыгать, когда приближается к бесконечности, а не постоянно сходится к + Бесконечность). Я думал о распределении Парето ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), которое имеет среднее значение = бесконечность, когда его параметр формы и все же имеет четко определенную функцию распределения вероятностей.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF спасибо - я должен был сказать Парето

— seanv507

Во всем этом есть некоторый комфорт: если

, то

, но не наоборот.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Алекс Р.

Ответы:

Как бы вы продемонстрировали событие «в конце концов случится»? Вы бы провели мысленный эксперимент с гипотетическим противником. Ваш оппонент может бросить вам вызов с любым положительным числом . Если вы можете найти (что, скорее всего, зависит от ), для которого вероятность события, произошедшего к моменту составляет не менее , то вы выиграете. $p$ $n$ $p$ $n$ $1-p$

В этом примере « » вводит в заблуждение нотацию, поскольку вы используете ее как для обозначения одного состояния случайного блуждания, так и для всего самого случайного блуждания. Давайте позаботимся о том, чтобы признать это различие. «Достигает конце концов» предназначен для обозначения подмножества множества всех случайных блужданий . Каждая прогулка имеет бесконечно много шагов. Значение в момент времени равно . « достигает по времени » относится к подмножеству прогулок, которые достигли состояния $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ ко времени . Строго говоря, это набор $n$

Ω_{1, N} знак равно {S \in Ω | S_{1} знак равно 1 или S_{2} знак равно 1 или \dots или S_{N} знак равно 1},

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

В своем ответе мнимому противнику вы демонстрируете некоторое со свойством, которое $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Поскольку произвольно, у вас есть все элементы множества $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Напомним , что тогда и только тогда , когда существует конечное , для которых , так что нет никаких бесконечных чисел , участвующих в этом союзе.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

Ваша способность выиграть игру показывает, что этот союз имеет вероятность, превышающую все значения вида , независимо от того, насколько маленьким может быть . Следовательно, эта вероятность составляет не менее - и, следовательно, равна . Вы продемонстрировали, что $1-p$ $p\gt 0$ $1$ $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Один простой способ оценить разницу между «происходящим в конечном итоге» и бесконечным ожидаемым временем первого прохождения - это рассмотреть более простую ситуацию. Для любого натурального числа пусть будет последовательностью $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

в котором за нулями следует бесконечная цепочка единиц. Другими словами, это те прогулки, которые остаются в начале координат и через некоторое (конечное) время переходят в точку , а затем остаются там навсегда. $n$ $1$

Пусть - множество всех этих с дискретной сигма-алгеброй. Назначьте меру вероятности через $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Это было разработано для того, чтобы иметь возможность перейти к к моменту времени равному , который, очевидно, приближается произвольно близко к . Вы выиграете игру. Прыжок в конце концов происходит, и когда это произойдет, это будет в какое-то конечное время. Тем не менее, ожидаемое время, когда это происходит, является суммой функции выживания (которая дает шансы не прыгнуть в момент времени ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) знак равно \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

который расходится. Это потому, что относительно большая вероятность длится долгое время перед прыжком.

— Whuber
источник

Неужели я неправильно понял, прочитал ли я ваш первый раздел как аргумент эпсилон / дельта и, таким образом, просто сказал

(где

- вероятность какого-либо события после

шагов)?

\underset{N \to \infty}{Ит} п_{N} знак равно 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpm Это не просто сводится к нему: он является эпсилон-дельта аргумент. В этом случае «дельта» это «

» и «эпсилон» написано «

n

$n$

p

$p$

n

$n$

underbrace

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

То, что что-то происходит в конечном итоге, означает, что есть некоторый момент времени, когда это происходит, но есть смысл, что никто не ссылается на какое-то конкретное указанное время, до которого это происходит. Если вы говорите, что что-то произойдет в течение трех недель, это более сильное утверждение, чем то, что это произойдет в конце концов. То, что это произойдет в конечном итоге, не определяет время, например, «три недели», «тридцать миллиардов лет» или «одну минуту».

— Майкл Харди
источник