Динамический системный взгляд на Центральную предельную теорему?

(Первоначально опубликовано на MSE.)

Я видел много эвристических обсуждений классической центральной предельной теоремы, говорящей о нормальном распределении (или любом из устойчивых распределений) как об «аттракторе» в пространстве плотностей вероятностей. Например, рассмотрим эти предложения в верхней части Википедии лечения :

В более общем использовании центральная предельная теорема - это любая из ряда теорем о слабой сходимости в теории вероятностей. Все они выражают тот факт, что сумма многих независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин или, альтернативно, случайных величин с конкретными типами зависимости будет иметь тенденцию распределяться в соответствии с одним из небольшого набора распределений аттракторов . Когда дисперсия переменных iid конечна, распределение аттракторов является нормальным распределением.

Этот язык динамических систем очень наводит на мысль. Феллер также говорит о «привлекательности» в своем обращении к CLT во втором томе (интересно, является ли это источником языка), а Юваль Флимус в этой заметке даже говорит о « тазе притяжения». (Я не думаю, что он действительно имеет в виду «точная форма тяготения заранее выводима», а скорее «точная форма аттрактора заранее выводима»; тем не менее, язык есть.) Мой вопрос: могут ли они динамические аналогии быть точными?Я не знаю книги, в которой они есть - хотя многие книги подчеркивают, что нормальное распределение является особенным для его стабильности при свертке (а также для его устойчивости при преобразовании Фурье). Это в основном говорит нам, что нормаль важна, потому что это фиксированная точка. CLT идет дальше, говоря нам, что это не просто неподвижная точка, а аттрактор.

Чтобы сделать эту геометрическую картину точной, я представляю себе, что фазовое пространство является подходящим бесконечномерным функциональным пространством (пространством плотностей вероятностей), а оператор эволюции - повторяющейся сверткой с начальным условием. Но у меня нет никакого смысла в технических деталях, связанных с созданием этой картины, или в том, стоит ли ее преследовать.

Я бы предположил, что, поскольку я не могу найти лечение, которое явно использует этот подход, должно быть что-то не так с моим ощущением, что это можно сделать или что это будет интересно. Если это так, я хотел бы услышать почему.

РЕДАКТИРОВАТЬ : В Math Stack Exchange и MathOverflow есть три похожих вопроса, которые могут заинтересовать читателей:

• Гауссовы распределения как неподвижные точки в некотором пространстве распределений (МО)
• Центральная предельная теорема через максимальную энтропию (МО)
• Есть ли доказательство центральной предельной теоремы через некоторую теорему о неподвижной точке? (СКО)

После некоторого изучения литературы, воодушевленного ответом Къетила, я нашел несколько ссылок, которые серьезно относятся к подходу геометрических / динамических систем к CLT, кроме книги Y. Sinai. Я публикую то, что нашел для других, кому это может быть интересно, но я все еще надеюсь услышать мнение эксперта о ценности этой точки зрения.

Наибольшее влияние, похоже, оказали работы Чарльза Стейна. Но наиболее прямым ответом на мой вопрос, по-видимому, являются Хамедани и Уолтер, которые ставят метрику в пространство функций распределения и показывают, что свертка создает сжатие, которое приводит к нормальному распределению как единственной фиксированной точке.

• М. Аншелевич, Линеаризация центрального предельного оператора в теории свободной вероятности , arXiv: math / 9810047v2.
• LHY Чен, Л. Гольдштейн, и Q. Шао, нормальное приближение по методу Стейна , Springer, 2011.
• Я. А. Гольдштейн, Теоретико-полугрупповые доказательства центральной предельной теоремы и других теорем анализа , Полугруппа Форум 12 (1976), нет. 3, 189–206.
• Г. Г. Хамедани и Г. Г. Вальтер, Теорема о неподвижной точке и ее применение к центральной предельной теореме , Arch. Математика (Базель) 43 (1984), нет. 3, 258–264.
• S. Swaminathan, Теоретические доказательства с неподвижными точками центральной предельной теоремы, в теории неподвижных точек и приложениях (Марсель, 1989), Pitman Res. Notes Math. Ser., Vol. 252, Longman Sci. Tech., Harlow, 1991, pp. 391–396. Цитируется по Карл Стромберг, Вероятность для аналитиков, стр. 114 .

ДОБАВЛЕНО 19 октября 2018 года.

Другим источником для этой точки зрения являются вероятностные и случайные процессы Оливера Нила с приложениями , с. 11 (выделение добавлено):

$P$$f_y$$f_{\overline{Y+X}}$$\overline{Y+X}$$Y + X$$0$$1$$f= 1$$P^n(f_X)$$S^{*}_n$$n$$X_i$$1$$0$$P$ $\mathcal{L}^1$, Это работает и в других ситуациях. Например, для случайных величин со значениями окружности равномерное распределение максимизирует энтропию. Поэтому неудивительно, что существует центральная предельная теорема для случайных величин со значениями по кругу с равномерным распределением в качестве предельного распределения.

В тексте «Теория вероятностей, вводный курс» Й. Синай (Springer) обсуждается CLT таким образом.

http://www.springer.com/us/book/9783662028452

Идея (из памяти ...) в том, что

$A(x_1,x_2) = \frac{x_1+x_2}{\sqrt{2}}$