В статистике я должен предполагать, что

18

Я изучаю статистику и часто сталкиваюсь с формулами, содержащими, logи я всегда сбит с толку, если я должен интерпретировать это как стандартное значение log, то есть основание 10, или если в статистике символ log обычно считается натуральным логарифмом ln.

В частности, я изучаю оценку частоты Тьюринга в качестве примера, но мой вопрос носит более общий характер.

mathematical-statistics notation logarithm

— Джузеппе Романьуоло
источник

2

«Для многих приложений более удобно работать с натуральным логарифмом функции правдоподобия, называемой логарифмическим правдоподобием». en.wikipedia.org/wiki/Likelihood_function#Log-likelihood В статистике мы часто работаем с функцией правдоподобия, обычно рассматривается lnименно это. Тем не менее, оба взаимосвязаны: log(x) = ln(x) / ln(10) = ln(x) / 2.303и функция ln- правдоподобия достигает экстремума в той же точке, что и функция log10- правдоподобия.

— John_West

5

В некоторых конкретных областях применения, когда упоминается

\log

$\log$ , подразумевается база 10, но, как указывает Аксакал, в противном случае в математике используется соглашение - что неукрашенный

\log

$\log$ означает натуральный журнал.

— Glen_b

2

Как говорит @John_West,

l n (x)

$ln(x)$ и

l o g_{a} (x)

$log_a(x)$ идентичны с точностью до коэффициента масштабирования. Таким образом, они одинаковы только то, что вы измеряете в другой единице.

1

@Aksakal; то, что вы говорите, сводится к тому, что единица важна (см. мой комментарий выше), с чем я согласен. Я также написал

l o g_{a}

$log_a$ явно указать базу. Для (некоторых) приложений в статистике, таких как максимальная вероятность, этот коэффициент масштабирования, однако, не имеет значения. Максимум не изменится после добавления коэффициента масштабирования. В отношении операционного ( в хорошем Тьюринга ...) они хотят построить

l o g (N_{r})

$log(N_r)$ (или

l o g (Z_{r})

$log(Z_r)$ ) в сравнении с

l o g (r)

$log(r)$ , Это означает, что единица измерения изменяется на обеих осях графика, поэтому построенная «кривая» не изменяется.

1

Если вы не пишете статью, даже при использовании логарифмической вероятности масштаб (основание логарифма) обычно имеет значение. Например, в статистике теста логарифмического отношения правдоподобия используется

\ln

$\ln$ , вам придется настраиваться из другой базы, чтобы использовать критические значения. Если вы пишете программное обеспечение, важно правильно настроить базу при использовании функций правдоподобия журналов из документов и т. Д. Слишком много случаев, когда важно утверждать, что база не имеет значения.

— Аксакал

20

Можно с уверенностью предположить, что без явной базы в статистике, потому что база 10 log не очень часто используется в статистике. Тем не менее, другие постеры поднимают вопрос о том, что или другие базы могут быть общими в некоторых других областях, где применяется статистика, например, теория информации. Поэтому, когда вы читаете статьи в других областях, это иногда сбивает с толку. $\log=\ln$ $\log_{10}$

Страница энтропии Википедии - хороший пример запутанного использования . На той же странице они означают базу 2, и любую базу. Вы можете выяснить по контексту, какой из них имеется в виду, но это требует чтения текста. Это не хороший способ представить материал. Сравните это со страницей логарифма, где основание четко показано в каждой формуле или используется . Я лично думаю, что это путь: всегда показывать базу, когда используется знак . Это также будет соответствовать ISO, поскольку стандарт не определяет использование неопределенной базы с символом как указал @Henry. $\log$ $e$ $\ln$ $\log$ $\log$

Наконец, стандарт ISO 31-11 предписывает знаки и для логарифмов оснований 2 и 10. Оба редко используются в наши дни. Я помню, что мы использовали в средней школе, но это было в другом столетии в другом мире. Я никогда не видел его с тех пор, как используется в статистическом контексте. Существует даже не тег для в LaTeX. $\text{lb}$ $\lg$ $\lg$ $\text{lb}$

— Аксакал
источник

1

Логарифмы Base 2 также довольно распространены в некоторых областях. Неокрашенный журнал редко является основой 10, но он не всегда является основой e .

— Ядерный Ван

Полезно, но я думаю, что "редко" слишком сильно. Существуют основные области, в которых люди могут знать только о логарифмах с основанием 10 или, в лучшем случае, чувствовать себя наиболее знакомыми с ними. Обратите внимание, что на многих графиках показаны логарифмические шкалы с использованием степеней 10. Кто-то, предпочитающий натуральные логарифмы, не сталкивается с трудностями при декодировании таких шкал, но предполагается, что он имеет базовое значение 10.

— Ник Кокс

@NickCox, OP специально указывает «статистику» как поле, и я не вижу, чтобы в статистике часто использовался логарифм с основанием 10.

— Аксакал

Похоже, что ISO 31-11 указывает

для

и оставляет неопределенный

неопределенным

\ln

$\ln$

\log_{e}

$\log_e$

\log

$\log$

— Генри

1

@NickCox, я смягчил язык, ты поднял вопрос

— Аксакал

14

По-разному.

За исключением нескольких контекстов, таких как преобразование значения в децибелы, логарифмы с основанием 10 довольно редко встречаются в уравнениях. Тем не менее, графики в масштабе журнала часто находятся в base-10, хотя это должно быть довольно легко проверить по меткам на осях.

В математическом контексте неукрашенное , скорее всего, будет натуральным бревном (т. или ). С другой стороны, информатика часто использует логарифмы с базой 2 ( ), и они не всегда четко обозначены как таковые. Хорошей новостью является то, что вы можете конвертировать между базами тривиально, а использование «неправильной» базы только сделает ваш ответ постоянным фактором. $\log$ $\log_{e}$ $\ln$ $\log_2$

В статье Гэйла "Good-Turing Without Tears" 1995 года логарифмами в тексте на самом деле являются (так сказано на стр. 5), но код R / S + в приложении использует функцию, которая на самом деле или , Как @Henry указывает ниже, это не имеет никакого практического значения. $\log_{10}$ log $\log_e$ $\ln$

Если бы я был вынужден угадать, вот некоторые эвристики:

Если также присутствуют степени 2, или 10, журналы, скорее всего, будут иметь соответствующую базу. $e$
Если это происходит в результате интегрирования (или, в более общем смысле, включает исчисление), это, вероятно, будет натуральный логарифм. $1/x$
Если это происходит из-за многократного деления чего-либо пополам (как при бинарном поиске), это, вероятно, будет . В более общем смысле, что-то можно разделить на приблизительно раз. $\log_2$ $n$ $\log_n$
Информационно-теоретические вычисления обычно используют , особенно в современной работе. Тем не менее, вы можете проверить единицы измерения, чтобы быть уверенными: , и . $\log_2$ $\textrm{bits} \rightarrow \log_2$ $\textrm{nats} \rightarrow \ln$ $\textrm{bans} \rightarrow \log_{10}$
Нахождение точки, где функция падает или поднимается до , (37% и 63% соответственно) от первоначального значения предполагает натуральный логарифм. $\frac{1}{e} \textrm{ or } 1- \frac{1}{e}$

— Мэтт Краузе
источник

5

+1. Небольшой совет: если экспоненты

найдены поблизости, то натуральный логарифм более вероятен и, наоборот, со степенями 10 или 2. Если какая база используется, остается неясной, попробуйте воспроизвести пример расчетов авторов.

\exp ()

$\exp()$

— Ник Кокс

2

Поскольку графики на страницах 6 и 7 статьи Гейла показывают исходные единицы измерения в логарифмическом масштабе, а расчеты направлены на наклон отношения log-log, т. Е.

в выражении

что соответствует

, в данном случае это не имеет никакого практического значения

b

$b$

\log (N_{r}) = a + b \log (r)

$\log(N_r ) = a + b \log(r)$

N_{r} = A r^{b}

$N_r=Ar^b$

— Генри

2

Другой пример

, когда плетенки на фондовом рынке данных, при использовании цены журнала ось всегда основание 10.

b a s e 10

$base 10$

— Marcus D

3

Чтобы ответить на ваш вопрос: нет, вы не можете принять общую фиксированную запись для логарифма.

Подобный вопрос недавно обсуждался в SE.Math: в чем разница между тремя типами логарифмов? с математической точки зрения. Как правило, существуют различные обозначения, которые зависят от привычек ( кажется полезным в медицинских исследованиях ) или языка (например, на немецком, русском, французском). К сожалению, одна и та же запись иногда заканчивается представлением разных определений. Цитирование из вышеупомянутой ссылки SE.Math: $\log_{10}$

$\ln x$ $\log_e x$ $e$ $\log x$ $*10$ $\log_{10}$

$\log$ $2$ $\log_2$ $\log_e$

$0$

Возвращаясь к вашей первоначальной мотивации, оценке частоты хорошего тьюринга, интересно прочитать «Частоты популяций видов и оценка параметров популяции» , IJ Good, Biometrika, 1953. Здесь он использовал логарифмы в разных контекстах: преобразование переменной для стабилизация дисперсии (с упоминанием Бартлетта и Анскомба), сумма гармонических рядов, энтропия. Мы видим, что он обычно использует как натуральный логарифм, и время от времени в статье указывается или , когда этого требует контекст. Для стабилизации дисперсии или оценки основной энтропии коэффициент логарифма не сильно меняет результат, так как результат допускает линейное изменение. $\log$ $\log_e$ $\log_{10}$

— Лоран Дюваль
источник

0

$e$ $\ln(\hat L)$ $\hat L$ $k$

A я С знак равно 2 (К - пер (L)),

$\mathrm{AIC} = 2(k-\ln(L)).$

Таким образом, кажется, что если вы используете любую другую базу для логарифма в AIC, вы можете в итоге сделать неправильный вывод и выбрать неправильную модель.

— Бьёрн Кьос-Ханссен
источник