Как проверить, не является ли кросс-ковариационная матрица ненулевой?

Предпосылки моего исследования :

В выборках Гиббса , где мы образец (переменные интересы) и из и соответственно, где и являются - мерными случайными векторами. Мы знаем, что процесс обычно делится на два этапа: $X$ $Y$ $P(X|Y)$ $P(Y|X)$ $X$ $Y$ $k$

Период выгорания, где мы отбрасываем все образцы. Обозначим образцы как и . $X_1\sim X_t$ $Y_1\sim Y_t$
Период после прожигания, где мы усредняем выборки как наш конечный желаемый результат. $\bar{X} = \frac{1}{k}\sum_{i=1}^k X_{t+i}$

Однако отсчеты в последовательности после выгорания не распределены независимо. Поэтому, если я хочу проверить дисперсию конечного результата, он становится $X_{t+1}\sim X_{t+k}$

Var [\bar{X}] = Var [\sum_{i = 1}^{k} X_{t + i}] = \frac{1}{k^{2}} (\sum_{i = 1}^{k} Var [X_{t + i}] + \sum_{i = 1}^{k - 1} \sum_{j = i + 1}^{k} Cov [X_{t + i}, X_{t + j}])

$\operatorname{Var}[\bar{X}] = \operatorname{Var}\left[\sum_{i=1}^k X_{t+i}\right] = \frac{1}{k^2}\left(\sum_{i=1}^k\operatorname{Var}[X_{t+i}] + \sum_{i=1}^{k-1} \sum_{j=i+1}^k \operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]\right)$

Здесь термин представляет собой кросс-ковариационную матрицу, применимую к любому с . $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$ $k\times k$ $(i,j)$ $i<j$

Например, у меня есть

X_{t + 1} = (1, 2, 1)^{'} X_{t + 2} = (1, 0, 2)^{'} X_{t + 3} = (1, 0, 0)^{'} X_{t + 4} = (5, 0, - 1)^{'}

$X_{t+1} = (1,2,1)'\\ X_{t+2} = (1,0,2)'\\ X_{t+3} = (1,0,0)'\\ X_{t+4} = (5,0,-1)'$

тогда я мог бы оценить ковариационную матрицу с помощью $\operatorname{Cov}[X_{t+i}, X_{t+i+1}]$

\frac{1}{3} \sum_{i = 1}^{3} (X_{t + i} - μ_{t + i}) (X_{t + i + 1} - μ_{t + i + 1})^{'}

$\frac{1}{3}\sum_{i=1}^3 (X_{t+i}-\mu_{t+i})(X_{t+i+1}-\mu_{t+i+1})'$

Теперь меня интересует, является ли полученная оценка значительно ненулевой, поэтому мне нужно включить ее в мою оценку дисперсии . $\operatorname{Var}[\bar{X}]$

Итак, вот мои вопросы :

Мы из . Поскольку меняется, я думаю, что и не относятся к одному и тому же распределению, поэтому - это не то же самое, что . Это утверждение правильно? $X_{t+i}$ $P(X_{t+i}|Y_{t+i})$ $Y_{t+i}$ $X_{t+i}$ $X_{t+i+1}$ $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$ $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i}]$
Предположим, у меня достаточно данных для оценки (соседние выборки в последовательности), есть ли способ проверить, значительно ли ковариационная матрица ненулевая матрица? Вообще говоря, меня интересует индикатор, который ведет меня к некоторым значимым кросс-ковариационным матрицам, которые должны быть включены в мою окончательную оценку дисперсии. $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i+1}]$

— TomHall
источник

На самом деле, сейчас это выглядит как довольно хороший вопрос; Я думаю, что некоторые другие люди будут в лучшем положении, чтобы дать хорошие ответы, чем я, поэтому я хотел бы продвинуть это (назначить награду за это), когда это скоро будет иметь право. [Короткие ответы: 1. Эти две ковариации разные. 2. Вам не нужно проверять , коррелированы ли последовательные переменные (во всех случаях, кроме самых тривиальных; алгоритм работает, генерируя зависимые переменные) - более интересно измерить корреляцию, чем проверить ее;] ... если хорошие ответы не отображаются Я

— расширю

Кажется, что ваш вопрос гораздо шире, чем заглавный вопрос. В частности, для ответа на ваш заглавный вопрос есть тест сферичности Бартлетта, который позволяет проверить, является ли образец ковариационной матрицы диагональным. Вам, вероятно, потребуется адаптировать его к вашему кросс-ковариационному сценарию (ваша «ковариационная матрица» на самом деле не совсем ковариационная матрица, это кросс-ковариационная матрица; это недиагональный блок полной ковариационной матрицы X_t и X_ { t + 1} вместе). CC для @Glen_b.

— говорит амеба: восстанови Монику

Я бы добавил, что ковариации имеют тенденцию затухать более или менее геометрически (все более и более по мере того, как вы раздвигаетесь дальше); Значения, находящиеся далеко друг от друга во времени, имеют тенденцию иметь очень низкую корреляцию ( не нулевую, а в значительной степени игнорируемую), в то время как близкие значения иногда могут быть весьма зависимыми.

— Glen_b

@Tom 1. Тем не менее, что касается ACF со стационарными сериями, при очень дальних лагах (4 не далеко!) 2. Вы знаете кое-что о работе сгенерированных значений из MCMC, чего нельзя сказать о произвольных временных рядах ... они марковские . Вы заметите, что мои предыдущие комментарии не утверждают, что ближайшие лаги должны показывать геометрическое затухание (например, я не говорил, что невозможно было увидеть более высокую корреляцию при лаге 4, чем 3). Вы по-прежнему будете иметь (при соблюдении определенных условий) тенденцию к геометрическому затуханию в АКФ, когда будете двигаться далеко друг от друга.

$\quad$

— Glen_b

Если ваш период выборки настолько короткий, что у вас нет высокоточных оценок кросс-ковариации, вам, возможно, придется иметь дело с тем фактом, что ваши оценки кросс-ковариационных членов имеют большую стандартную ошибку. Учитывая мое текущее понимание, я еще сильнее собираюсь подтвердить свое возражение против проверки корреляций. Проверка гипотезы для нулевых и ненулевых корреляций не решает вашу проблему здесь.

— Glen_b

Мы из . Поскольку меняется, я думаю, что и не из одного распределения [...] $X_{t+i}$ $P(X_{t+i}|Y_{t+i})$ $Y_{t+i}$ $X_{t+i}$ $X_{t+i+1}$

Вы путаете условные и безусловные распределения здесь, см. Также мое следующее замечание. Условно на и , . Но вся суть построения вашего Гиббс пробоотборника для выборки из стационарных распределений и . Грубо говоря, если вы управляете своей цепью достаточно долго и так, что следует за стационарным распределением, вы можете сказать означает, что безусловное распределение также является инвариантным. Другими словами, как $Y_{t+i} = y_1$ $Y_{t+i+1} = y_2$ $P(X_{t+i}|Y_{t+i} = y_1) \neq P(X_{t+i+1}|Y_{t+i+1} = y_2)$ $X$ $Y$ $\{Y_t\}$

\begin{aligned} P (X_{t}) = \int_{Y} P (X_{t} | Y_{t}) d P (Y_{t}), \end{aligned}

$\begin{align} P(X_t) = \int_{\mathcal{Y}}P(X_t|Y_t)dP(Y_t), \end{align}$

X_{t}

$X_t$

t \to \infty

$t \to \infty$ и мы сходимся к стационарным распределениям, , поскольку и будут асимптотически взяты из (того же самого!) стационарного распределения . С другой стороны, и, как и прежде, после того, как мы и , это больше не будет выполняться, независимо от того, насколько велико .

P (X_{t + i} | Y_{t + i}) = P (X_{t + i + 1} | Y_{t + i + 1})

$P(X_{t+i}|Y_{t+i}) = P(X_{t+i+1}|Y_{t+i+1})$

Y_{t + i}

$Y_{t+i}$

Y_{t + i + 1}

$Y_{t+i+1}$

P (Y_{t})

$P(Y_t)$

Y_{t + i} = y_{1}

$Y_{t+i} = y_1$

Y_{t + i + 1} = y_{2}

$Y_{t+i+1} = y_2$

t

$t$

[...] so не совпадает с . Это утверждение правильно? $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+j}]$ $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i}]$

Да, это правильно - даже если , то есть и имеют одинаковое стационарное распределение. Я знаю, что это может сбивать с толку, но потерпите меня. Определите с помощью . Посредством повторного замещения можно показать, что , и поскольку (бесконечные) суммы нормалей по-прежнему нормальны, в нем содержится то, что и так что . Ясно, что и $X_{t+1} \sim X_{t}$ $X_t$ $X_{t+1}$ $Y_t = 0.8\cdot Y_{t-1} + \varepsilon_t$ $\varepsilon_t \overset{iid}{\sim} N(0,1)$ $Y_t = \sum_{i=0}^t0.8^i \varepsilon_{t-i}$ $\text{Var}(Y_t) = \sum_{i=0}^t0.8^{2i} = \dfrac{1}{1-0.8^2}$ $Y_t \overset{iid}{\sim} N(0, \dfrac{1}{1-0.8^2})$ $Y_t$ $Y_{t+1}$ будет по-прежнему коррелировать, но они также будут приходить из того же распределения ( ). Аналогичная ситуация имеет место для вашего . $Y_{t+1} \sim Y_{t}$ $X_t$

Предположим, у меня достаточно данных для оценки (соседние выборки в последовательности), есть ли способ проверить, значительно ли ковариационная матрица ненулевая матрица? Вообще говоря, меня интересует индикатор, который ведет меня к некоторым значимым кросс-ковариационным матрицам, которые должны быть включены в мою окончательную оценку дисперсии. $\operatorname{Cov}[X_{t+i},X_{t+i+1}]$

Ну, если у вас было бесконечно много наблюдений, все они в конечном итоге будут значительными. Ясно, что вы не можете сделать это на практике, но есть способы «отрубить» расширение после некоторых сроков, см. Принятый превосходный ответ здесь. По сути, вы определяете ядро которое уменьшается до и присваивает веса первым ковариационным матрицам которые вы можете вычислить. Если вы хотите выбрать принципиальным образом, вам придется немного покопаться в литературе, но пост, на который я ссылаюсь, дает вам несколько хороших ссылок, чтобы сделать именно это. $k(\cdot)$ $0$ $l_T$ $l_T$

— Иеремия К
источник