Что такое долгосрочная дисперсия?

Как определяется долгосрочная дисперсия в области анализа временных рядов?

Я понимаю, что это используется в том случае, если в данных есть корреляционная структура. Таким образом, наш стохастический процесс не будет семейством случайными переменными, а будет только идентично распределенным? $X_1, X_2 \dots$

Могу ли я иметь стандартную ссылку в качестве введения в концепцию и трудности, связанные с ее оценкой?

— Монолит
источник

связанные: stats.stackexchange.com/questions/154070/…

— Тейлор

Это мера стандартной ошибки среднего значения выборки при последовательной зависимости.

Если является ковариационной стационарной с и (в настройках эта величина будет равна нулю!), Так что . Тогда где первое равенство является определением , то второй немного сложнее установить и третье следствие стационарности, откуда следует , что . $Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

Так что проблема действительно заключается в отсутствии независимости. Чтобы увидеть это более четко, запишите дисперсию среднего значения образца как

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

Проблема с оценкой долгосрочной дисперсии состоит в том, что мы, конечно, не наблюдаем все автоковариации с конечными данными. Ядро (в эконометрике, «Ньюи-Вест» или HAC оценки) используются для этой цели,

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ - это ядро или весовая функция, - примеры автоковариаций. , кроме всего прочего, должно быть симметричным и иметь . - это параметр полосы пропускания.

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

Популярным ядром является ядро Бартлетта Хорошие ссылки на учебники - Гамильтон, Анализ временных рядов или Фуллер . Оригинальная (но техническая) статья в журнале Newey and West, Econometrica 1987 .

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— Кристоф Ханк
источник

Спасибо! Я проверил анализ временных рядов Гамильтона. Фактически это говорит о том, что непараметрический способ оценки спектра состоит в том, чтобы взять средневзвешенное значение выборочных ковариаций, но он не углубляется в математику, стоящую за определением этого утверждения. Не могли бы вы предложить справочник или документ, который объясняет, почему это хорошая оценка, когда размер выборки увеличивается?

— Монолит

хорошая точка зрения. Сделано некоторые правки

— Кристоф Ханк

Возможно, стоит упомянуть, что второй («хитрый») шаг требует доминирующей конвергенции (см. Stats.stackexchange.com/questions/154070/… ).

— Тамас Ференци

@ TamasFerenci, спасибо за указатель, я включил ссылку.

— Кристоф Ханк

@ Кристоф Ханк, пожалуйста, спасибо за обновление!

— Тамас Ференци