Топологии, для которых ансамбль вероятностных распределений завершен

Я изо всех сил пытался согласовать свое интуитивное понимание распределений вероятностей со странными свойствами, которыми обладают почти все топологии распределений вероятностей.

Например, рассмотрим смешанную случайную переменную : выберите гауссову с центром в 0 с дисперсией 1 и с вероятностью добавьте к результату. Последовательность таких случайных переменных будет сходиться (слабо и в общем отклонении) к гауссову с центром в 0 с дисперсией 1, но среднее значение всегда равно а дисперсии сходятся к . Мне действительно не нравится говорить, что эта последовательность сходится из-за этого. $X_n$ $\frac{1}{n}$ $n$ $X_n$ $1$ $+\infty$

Мне потребовалось довольно много времени, чтобы вспомнить все, что я забыл о топологиях, но я наконец-то понял, что меня так не устраивало в таких примерах: предел последовательности не является обычным распределением. В приведенном выше примере предел является странным «гауссианом среднего 1 и бесконечной дисперсии». В топологических терминах множество вероятностных распределений не является полным под слабым (и ТВ, и всеми другими топологиями, на которые я смотрел).

Затем я сталкиваюсь со следующим вопросом:

существует ли топология такая, что ансамбль распределений вероятностей завершен?
Если нет, отражает ли это отсутствие интересное свойство ансамбля вероятностных распределений? Или это просто скучно?

Примечание: я сформулировал свой вопрос о «распределении вероятностей». Они не могут быть закрыты, потому что они могут сходиться к Дираку и тому подобное, которые не имеют PDF. Но меры все еще не закрыты в слабой топологии, поэтому мой вопрос остается

перекрестная вставка в mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

— Гийом Дехене
источник

Вы обнаружили, что множество всех вероятностных распределений не компактно . Я думаю, что компактность - это слово, которое вам нужно, а не полнота. Соответствующая концепция компактности в этой обстановке часто называется герметичностью . Смотрите, например, stats.stackexchange.com/questions/180139/…

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen Я думаю, что это предкомпактный, а не компактный из-за теоремы Скорохода.

— Henry.L

В чем конкретно проблема с приведенным примером? Разве это (скажем, слабая) сходимость не означает сходимости моментов? Зачем это? И какое это имеет отношение к полноте (в данном примере существует ограничение)?

— Майкл

Если взглянуть на вопрос с более узкой статистической точки зрения (общая математическая топологическая проблема верна), то, что последовательность моментов может не сходиться к моментам предельного распределения, является хорошо известным явлением. Это в принципе не ставит автоматически под сомнение существование хорошо ограниченного распределения последовательности.

Предельное распределение указанной последовательности является корректным распределением с конечными моментами. Это последовательность моментов, которая не сходится. Но это другая последовательность , последовательность, состоящая из функций наших случайных величин (интегралов, плотностей и т. Д.), А не последовательности самих случайных величин, предельное распределение которых нас интересует. $\{X_n + n Bern(1/n)\}$ $N(0,1)$

— Алекос Пападопулос
источник

Как это отвечает на вопрос?

— whuber

@whuber Что ж, мой ответ говорит, что существует ли такая топология, которую запрашивает OP, или нет, не имеет большого значения со статистической точки зрения.

— Алекос Пападопулос