инвариантность корреляции к линейному преобразованию:

Это на самом деле является одной из проблем в 4-й редакции «Базовой эконометрики» Гуджарати (Q3.11), в которой говорится, что коэффициент корреляции инвариантен относительно изменения происхождения и масштаба, то есть где , , , - произвольные постоянные.

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

d

$d$

Но мой главный вопрос заключается в следующем: пусть и являются парными наблюдениями и предположим, что и положительно коррелированы, то есть . Я знаю, что будет отрицательным, основываясь на интуиции. Однако если мы возьмем , из этого следует, что что не имеет смысла. $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\text{corr}(X,Y)>0$ $\text{corr}(-X,Y)$ $a=-1, b=0, c=1, d=0$

corr (- X, Y) = corr (X, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$

Буду признателен, если кто-то может указать на разрыв. Спасибо.

— Даниил
источник

Если книга действительно говорит то, что вы говорите, она говорит, это неправильно; вам нужно

a c > 0

$ac>0$

— Glen_b

@Glen_b Да, я действительно считаю, что в книге это неверно, если только я не слепой, потому что на самом деле не вижу никаких условий, налагаемых на константы.

— Даниэль

Может быть, шкала понимается как положительная величина.

— Сиань

@ Сиань Это может быть, но я не думаю, что это указано в книге. Но большое спасибо за редактирование и ответ кстати :)

— Даниэль

Так как и равенство имеет место только тогда, когда и оба положительные или оба отрицательные, т.е. .

corr (X, Y) = \frac{cov (X, Y)}{var (X)^{1 / 2} var (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$

cov (a X + b, c Y + d) = a c cov (X, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

c

$c$

a c > 0

$ac>0$

— Сиань
источник