Случайная прогулка с импульсом

Рассмотрим случайное целочисленное блуждание, начинающееся с 0, со следующими условиями:

Первый шаг - плюс или минус 1 с равной вероятностью.
Каждый следующий шаг: 60% вероятности будут в том же направлении, что и предыдущий шаг, 40% вероятности будут в противоположном направлении

Какого рода распределение это дает?

Я знаю, что случайное блуждание без импульса дает нормальное распределение. Изменяет ли импульс только дисперсию или полностью меняет характер распределения?

Я ищу общий ответ, поэтому на 60% и 40% выше, я действительно имею в виду р и 1-р

stochastic-processes randomness random-walk

— barrycarter
источник

На самом деле, @Dilip, вам нужна цепь Маркова с состояниями , индексированных упорядоченных пар

. Переходы:

(i, i + 1)

$(i,i+1)$

(i, i - 1)

$(i,i-1)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$

с вероятностью

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$

p

$p$

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$

1 - p

$1-p$

— whuber

Обратите внимание, что размеры шагов образуют цепочку Маркова на

и вы (?!) запустили ее в стационарном распределении.

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$

— кардинал

Вы хотите предельное (предельное) распределение для

где

- шаги шага?

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$

— кардинал

Другой подход может состоять в том, чтобы посмотреть на чередующиеся суммы геометрических случайных величин, а затем применить некоторую теорию мартингалов. Проблема в том, что вам придется определить какое-то время остановки, что может быть сложно.

— Шаббычеф

Ответы:

Чтобы сразу перейти к заключению, «импульс» не меняет того факта, что нормальное распределение является асимптотическим приближением распределения случайного блуждания, но дисперсия изменяется от до . Это может быть получено из относительно элементарных соображений в этом частном случае. Скажем, не очень сложно обобщить приведенные ниже аргументы в CLT для цепей Маркова с конечным пространством состояний, но самая большая проблема на самом деле - это вычисление дисперсии. Для конкретной проблемы это может $4np(1-p)$ $np/(1-p)$ быть рассчитанным, и, надеюсь, приведенные ниже аргументы могут убедить читателя, что это правильная дисперсия.

Используя понимание, которое кардинал предоставляет в комментарии, случайное блуждание задается как где а образуют цепь Маркова с матрицей вероятности перехода Для асимптотических соображений, когда начальное распределение играет никакой роли, поэтому давайте исправим

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

ради следующего аргумента, и предположим также, что

. Отличная техника - разложить цепь Маркова на независимые циклы. Пусть

обозначает первый раз, после времени 1, что цепь Маркова возвращается к 1. То есть, если

то

, а если

то

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$ , В общем, пусть

обозначает время

-го возврата 1, а

обозначает времена взаимного возврата (при

). С этими определениями мы имеем

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

С , то $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
Поскольку принимает значение для и считается, что $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
Время взаимного возврата, , для цепи Маркова идентифицировано (формально благодаря сильному свойству Маркова), и в этом случае среднее значение и дисперсия $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ . Ниже указано, как рассчитать среднее значение и дисперсию. $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
Обычный CLT для переменных приводит к тому, что $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
$\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

$\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ then $1 + X(1-Z)$ has the same distribution as $\tau_1$ , and it is easy to compute the mean and variance for this latter representation.

— NRH
источник

+1 nice. I would only have written assymptotic distribution for

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$ , to show clearly that CLT applies in the usual way. But that is only the matter of taste.

— mpiktas

Van Belle's 'Rule of Thumb' 8.7 (from the second edition of his book) includes an approximation for the standard error of the mean when innovations have autocorrelation $\rho$ . Translating this using $\rho = 2p - 1$ gives

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$ where

n \bar{x}

$n \bar{x}$ is the position of the random walk after

n

$n$ steps, and

s

$s$ is the sample standard deviation (which will be, asymptotically in

n

$n$ ,

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$ . The upshot is that I expect, as a rough approximation, that the standard deviation of

n \bar{x}

$n \bar{x}$ should be around

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ .

edit: I had the wrong autocorrelation (or rather $p$ should have been interpreted differently); is now consistent (I hope!)

— shabbychef
источник

Interesting. I'm not sure that yields anything very sensible for the

p = 0

$p=0$ subcase; though, that could be due to pathologies associated with that case.

— cardinal

@cardinal good catch, the autocorrelation should be

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$ not

1 - 2 p

$1 - 2p$ . correcting it...

— shabbychef