Как использовать разложение Холецкого или альтернативу для моделирования коррелированных данных

Я использую разложение Холецкого для моделирования коррелированных случайных величин с учетом матрицы корреляции. Дело в том, что результат никогда не воспроизводит структуру корреляции так, как он задан. Вот небольшой пример на Python, чтобы проиллюстрировать ситуацию.

import numpy as np    

n_obs = 10000
means = [1, 2, 3]
sds = [1, 2, 3] # standard deviations 

# generating random independent variables 
observations = np.vstack([np.random.normal(loc=mean, scale=sd, size=n_obs)
                   for mean, sd in zip(means, sds)])  # observations, a row per variable

cor_matrix = np.array([[1.0, 0.6, 0.9],
                       [0.6, 1.0, 0.5],
                       [0.9, 0.5, 1.0]])

L = np.linalg.cholesky(cor_matrix)

print(np.corrcoef(L.dot(observations))) 

Это печатает:

[[ 1.          0.34450587  0.57515737]
 [ 0.34450587  1.          0.1488504 ]
 [ 0.57515737  0.1488504   1.        ]]

Как вы можете видеть, аппроксимируемая оценочная матрица корреляции резко отличается от предыдущей. Есть ли ошибка в моем коде, или есть какая-то альтернатива использованию декомпозиции Холецкого?

редактировать

Прошу прощения за этот беспорядок. Я не думал, что в коде и / или в том, как применялась декомпозиция Холецкого, произошла ошибка из-за неправильного понимания материала, который я изучал ранее. На самом деле я был уверен, что сам метод не должен быть точным, и я был в порядке с этим, пока ситуация не заставила меня задать этот вопрос. Спасибо, что указали на заблуждение, которое у меня было. Я отредактировал название, чтобы лучше отразить реальную ситуацию, предложенную @Silverfish.

Подход, основанный на разложении Холецкого, должен работать, он описан здесь и показан в ответе Марка Л. Стоуна, опубликованном почти одновременно с этим ответом.

$N(\vec\mu, \Sigma)$

$Y$$X$$\Phi$$\Sigma$$\Lambda$$\Sigma$$\Phi$

Пример в R(извините, я не использую то же программное обеспечение, которое вы использовали в вопросе):

n <- 10000
corM <- rbind(c(1.0, 0.6, 0.9), c(0.6, 1.0, 0.5), c(0.9, 0.5, 1.0))
set.seed(123)
SigmaEV <- eigen(corM)
eps <- rnorm(n * ncol(SigmaEV$vectors))
Meps <- matrix(eps, ncol = n, byrow = TRUE)    
Meps <- SigmaEV$vectors %*% diag(sqrt(SigmaEV$values)) %*% Meps
Meps <- t(Meps)
# target correlation matrix
corM
#      [,1] [,2] [,3]
# [1,]  1.0  0.6  0.9
# [2,]  0.6  1.0  0.5
# [3,]  0.9  0.5  1.0
# correlation matrix for simulated data
cor(Meps)
#           [,1]      [,2]      [,3]
# [1,] 1.0000000 0.6002078 0.8994329
# [2,] 0.6002078 1.0000000 0.5006346
# [3,] 0.8994329 0.5006346 1.0000000

Вас также может заинтересовать этот пост и этот пост .

Люди, вероятно, найдут вашу ошибку намного быстрее, если вы объясните, что вы сделали со словами и алгеброй, а не с кодом (или, по крайней мере, написали ее с использованием псевдокода).

Вы, кажется, делаете эквивалент этого (хотя, возможно, транспонирован):

1. $n\times k$$Z$

2. $\sigma_i$$\mu_i$

3. высчитывает $Y=LX$

$L$

Что вы должны сделать, это:

1. $n\times k$$Z$

2. $X=LZ$

3. $\sigma_i$$\mu_i$

Есть много объяснений этого алгоритма на сайте. например

Как генерировать коррелированные случайные числа (с учетом средних, дисперсий и степени корреляции)?

Могу ли я использовать метод Холецкого для генерации коррелированных случайных величин с заданным средним значением?

Этот обсуждает это непосредственно в терминах желаемой ковариационной матрицы, а также дает алгоритм для получения желаемой выборки ковариации:

Генерация данных с заданной выборочной ковариационной матрицей

Нет ничего плохого в факторизации Холецкого. В вашем коде есть ошибка. Смотрите редактирование ниже.

Вот код и результаты MATLAB, сначала для n_obs = 10000, как у вас, а затем для n_obs = 1e8. Для простоты, поскольку это не влияет на результаты, я не беспокоюсь о средствах, т. Е. Делаю их нулями. Обратите внимание, что chol MATLAB производит верхний треугольный фактор Холецки R матрицы M, так что R '* R = M. numpy.linalg.cholesky производит нижний треугольный фактор Холецки, поэтому необходима корректировка по сравнению с моим кодом; но я считаю, что ваш код в этом отношении хорош.

   >> correlation_matrix = [1.0, 0.6, 0.9; 0.6, 1.0, 0.5;0.9, 0.5, 1.0];
   >> SD = diag([1 2 3]);
   >> covariance_matrix = SD*correlation_matrix*SD
   covariance_matrix =
      1.000000000000000   1.200000000000000   2.700000000000000
      1.200000000000000   4.000000000000000   3.000000000000000
      2.700000000000000   3.000000000000000   9.000000000000000
   >> n_obs = 10000;
   >> Random_sample = randn(n_obs,3)*chol(covariance_matrix);
   >> disp(corr(Random_sample))
      1.000000000000000   0.599105015695768   0.898395949647890
      0.599105015695768   1.000000000000000   0.495147514173305
      0.898395949647890   0.495147514173305   1.000000000000000
   >> n_obs = 1e8;
   >> Random_sample = randn(n_obs,3)*chol(covariance_matrix);
   >> disp(corr(Random_sample))
      1.000000000000000   0.600101477583914   0.899986072541418
      0.600101477583914   1.000000000000000   0.500112824962378
      0.899986072541418   0.500112824962378   1.000000000000000

Изменить: я нашел вашу ошибку. Вы неправильно применили стандартное отклонение. Это эквивалент того, что вы сделали, что неправильно.

   >> n_obs = 10000;
   >> Random_sample = randn(n_obs,3)*SD*chol(correlation_matrix);
   >> disp(corr(Random_sample))
      1.000000000000000   0.336292731308138   0.562331469857830
      0.336292731308138   1.000000000000000   0.131270077244625
      0.562331469857830   0.131270077244625   1.000000000000000
   >> n_obs=1e8;
   >> Random_sample = randn(n_obs,3)*SD*chol(correlation_matrix);
   >> disp(corr(Random_sample))
      1.000000000000000   0.351254525742470   0.568291702131030
      0.351254525742470   1.000000000000000   0.140443281045496
      0.568291702131030   0.140443281045496   1.000000000000000

Резюме не о коде, но я был заинтригован, увидев, как это выглядело бы после всех хороших ответов и, в частности, @Mark L. Stone. Фактический ответ на вопрос предоставляется на его посту (пожалуйста, укажите его в случае сомнений). Я перемещаю эту дополнительную информацию сюда, чтобы облегчить поиск этого поста в будущем. Не преуменьшая других превосходных ответов, после ответа Марка это завершает проблему, исправляя сообщение в ОП.

Источник

В питоне:

import numpy as np

no_obs = 1000             # Number of observations per column
means = [1, 2, 3]         # Mean values of each column
no_cols = 3               # Number of columns

sds = [1, 2, 3]           # SD of each column
sd = np.diag(sds)         # SD in a diagonal matrix for later operations

observations = np.random.normal(0, 1, (no_cols, no_obs)) # Rd draws N(0,1) in [3 x 1,000]

cor_matrix = np.array([[1.0, 0.6, 0.9],
                       [0.6, 1.0, 0.5],
                       [0.9, 0.5, 1.0]])          # The correlation matrix [3 x 3]

cov_matrix = np.dot(sd, np.dot(cor_matrix, sd))   # The covariance matrix

Chol = np.linalg.cholesky(cov_matrix)             # Cholesky decomposition

array([[ 1.        ,  0.        ,  0.        ],
       [ 1.2       ,  1.6       ,  0.        ],
       [ 2.7       , -0.15      ,  1.29903811]])

sam_eq_mean = Chol .dot(observations)             # Generating random MVN (0, cov_matrix)

s = sam_eq_mean.transpose() + means               # Adding the means column wise
samples = s.transpose()                           # Transposing back

print(np.corrcoef(samples))                       # Checking correlation consistency.

[[ 1.          0.59167434  0.90182308]
 [ 0.59167434  1.          0.49279316]
 [ 0.90182308  0.49279316  1.        ]]

IN [R]:

no_obs = 1000             # Number of observations per column
means = 1:3               # Mean values of each column
no_cols = 3               # Number of columns

sds = 1:3                 # SD of each column
sd = diag(sds)         # SD in a diagonal matrix for later operations

observations = matrix(rnorm(no_cols * no_obs), nrow = no_cols) # Rd draws N(0,1)

cor_matrix = matrix(c(1.0, 0.6, 0.9,
                      0.6, 1.0, 0.5,
                      0.9, 0.5, 1.0), byrow = T, nrow = 3)     # cor matrix [3 x 3]

cov_matrix = sd %*% cor_matrix %*% sd                          # The covariance matrix

Chol = chol(cov_matrix)                                        # Cholesky decomposition

     [,1] [,2]      [,3]
[1,]    1  1.2  2.700000
[2,]    0  1.6 -0.150000
[3,]    0  0.0  1.299038

sam_eq_mean = t(observations) %*% Chol          # Generating random MVN (0, cov_matrix)

samples = t(sam_eq_mean) + means

cor(t(samples))

          [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 1.0000000 0.6071067 0.8857339
[2,] 0.6071067 1.0000000 0.4655579
[3,] 0.8857339 0.4655579 1.0000000

colMeans(t(samples))
[1] 1.035056 2.099352 3.065797
apply(t(samples), 2, sd)
[1] 0.9543873 1.9788250 2.8903964

Как уже показали другие: холеский работает. Вот фрагмент кода, который очень короткий и очень близок к псевдокоду: кодовый фрагмент в MatMate:

Co = {{1.0, 0.6, 0.9},  _
      {0.6, 1.0, 0.5},  _
      {0.9, 0.5, 1.0}}           // make correlation matrix


chol = cholesky(co)              // do cholesky-decomposition           
data = chol * unkorrzl(randomn(3,100,0,1))  
                                 // dot-multiply cholesky with random-
                                 // vectors with mean=0, sdev=1  
                                 //(refined by a "decorrelation" 
                                 //to remove spurious/random correlations)   


chk = data *' /100               // check the correlation of the data
list chk

1.0000  0.6000  0.9000
0.6000  1.0000  0.5000
0.9000  0.5000  1.0000