Генерация значений из многомерного гауссовского распределения

В настоящее время я пытаюсь моделировать значений $N$ - мерной случайной величины $X$ , который имеет многомерное нормальное распределение со средним вектором $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ и ковариационной матрицей $S$ .

Я надеюсь использовать методику , аналогичную методу обратной CDF, а это означает , что я хочу , чтобы сначала создать - мерный равномерная случайная величина , а затем подключить , что в обратной КОР этого распределения, так , чтобы генерировать значение . $N$ $U$ $X$

У меня возникли проблемы, потому что процедура плохо документирована, и есть небольшие различия между функцией mvnrnd в MATLAB и описанием, которое я нашел в Википедии .

В моем случае я также выбираю параметры распределения случайным образом. В частности, я генерирую каждое из средств из равномерного распределения . Затем я строю ковариационную матрицу используя следующую процедуру: $\mu_i$ $U(20,40)$ $S$

Создайте нижнюю треугольную матрицу где для и для $L$ $L(i,i) = 1$ $i=1..N$ $L(i,j) = U(-1,1)$ $i < j$
Пусть , где обозначает транспонирование . $S = LL^T$ $L^T$ $L$

Эта процедура позволяет мне гарантировать, что является симметричным и положительно определенным. Он также предоставляет нижнюю треугольную матрицу так что , что, я считаю, необходимо для генерации значений из распределения. $S$ $L$ $S = LL^T$

Используя рекомендации по Википедии, я должен быть в состоянии генерировать значения используя мерную форму следующим образом: $X$ $N$

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

Однако в соответствии с функцией MATLAB это обычно делается следующим образом:

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

Там , где является обратным ВПР из - мерного, разъемные, нормального распределения, и единственное различие между обоими методами, просто использовать ли или . $\Phi^{-1}$ $N$ $L$ $L^T$

MATLAB или Wikipedia - это путь? Или оба не правы?

— Берк У.
источник

Как уже говорилось, оба неверны, потому что

является вектором строки, а

должен быть вектором столбца. Когда вы исправите свои строки и столбцы, этот вопрос должен ответить сам на себя, просто указав, какая версия

или

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$ дает матрицу, а какая версия - просто число: проверьте, что вы можете вычислить математическое ожидание матрицы версии , и что это дает

S

$S$

— Whuber

@whuber Да. Внесены изменения в форматирование вопроса. Спасибо за совет - безусловно, самый простой способ проверить.

— Берк У.

Если - вектор-столбец стандартных нормальных RV, то если вы установите , ковариация $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ является . $Y$ $L L^T$

Я думаю, что проблема, с которой вы столкнулись , может возникнуть из-за того, что функция mvnrnd в matlab возвращает векторы строк в качестве выборок, даже если вы указали среднее значение в качестве вектора столбца. например,

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

И обратите внимание, что преобразование вектора строки дает вам противоположную формулу. если является вектором строки, то также является вектором строки, поэтому является вектором столбца, и ковариация может быть записана как $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ $Z^T$ , $E[Z^TZ] = LL^T$

Исходя из того, что вы написали , хотя, формула Википедии верна: если были вектор строка , возвращаемая MATLAB, вы не можете левой умножить его на . (Но умножение вправо на даст вам выборку с той же ковариацией $\Phi^{-1}(U)$ $L^T$ $L^T$ ). $LL^T$

— jpillow
источник

Обратите внимание, что справка для mvnrnd в matlab использует

в качестве числа выборок; число измерений является

. Поэтому, если вы запрашиваете

выборок из

мерной многомерной нормали, она возвращает их в виде матрицы

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$

— jpillow