Как я могу сравнить 2 средства, которые распределены по Лапласу?

Я хочу сравнить 2 типовых средства для 1-минутного возврата. Я предполагаю, что они распределены по Лапласу (уже проверены), и я разделил результаты на 2 группы. Как я могу проверить, значительно ли они отличаются?

Я думаю, что не могу относиться к ним как к нормальному распределению, потому что, хотя они имеют более 300 значений, график QQ показывает, что существует огромная разница с нормальным распределением

Предполагая, что оба распределения Лапласа имеют одинаковую дисперсию,

а) проверка отношения правдоподобия будет включать в себя статистику теста, такую ​​как:

$\mathcal{L}=\frac{\prod_{i=1}^n \frac{1}{2\hat{\tau}} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}|}{\hat{\tau}})}{\prod_{i=1}^{n_1}\frac{1}{2\hat{\tau}_1} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}_1|}{\hat{\tau}_1})\cdot \prod_{i=n_1+1}^{n} \frac{1}{2\hat{\tau}_2} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}_2|}{\hat{\tau}_2})}$

Взятие логов, отмена / упрощение и умножение на .$-2$

$\,-2\mathcal{l} = 2(n\log(\hat{\tau})-n_1\log(\hat{\tau}_1)-n_2\log(\hat{\tau}_2))\;\qquad$ (где )$\mathcal{l}=\log(\mathcal{L})$

где - среднее абсолютное отклонение от медианы в объединенной выборке, а - среднее абсолютное отклонение от медианы в выборке . τ я=тя$\hat{\tau}=m$$\hat{\tau}_i=m_i$$i$

Согласно Уилксу теорема этой асимптотически распределена под нулем, поэтому для испытания на 5% вы бы отклонять , если что превысило .$\chi^2_1$$3.84\,$

Имитационные эксперименты предполагают, что тест является антиконсервативным при небольших размерах выборки (вероятность отклонения несколько выше номинальной), но примерно при n = 100 это кажется по меньшей мере разумным (вы получаете порядка 5,3% - 5,4% например, показатель отклонения при нулевом значении для номинального теста 5%; для он кажется ближе к 5,25%).$n_1,n_2>300$

б) Мы также ожидаем, что будет хорошей тестовой статистикой (где представляет выборка медианы и ); если бы я не допустил ошибку там, в больших выборках, таких как ваша, она будет приблизительно нормально распределена под нулем, со средним значением 0 и дисперсией 1, где может основываться на квадрате среднее абсолютное отклонение от среднего значения в объединенной выборке, , хотя я ожидаю, что на практике оно будет работать лучше, основываясь на средневзвешенной выборке из двух выборок 's . ~μv=2τ2($\frac{\tilde{\mu}_1- \tilde{\mu}_2}{\sqrt{v}}$$\tilde{\mu}$ τ 2м2м 2 я$v=2\hat{\tau}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})$$\hat{\tau}^2$$m^2$$m^2_i$$^\dagger$

$\dagger$ (Правка: симуляция предполагает, что нормальное приближение в порядке, но вычисление отклонений выше не верно; я вижу, в чем проблема сейчас, но мне все еще нужно ее исправить. Версия этого теста с перестановкой (см. пункт (с)) все равно должно быть в порядке).

c) Другой альтернативой будет выполнение теста перестановки на основе любой из приведенных выше статистических данных. (Один из ответов здесь дает представление о том, как реализовать тест на перестановку для определения разницы в медиане.)

г) Вы всегда можете пройти тест Уилкоксона / Манна-Уитни; это будет значительно эффективнее, чем пытаться использовать t-критерий Лапласа.

e) лучше, чем (d) для данных Лапласа, был бы медианный тест Муда; Хотя это часто рекомендуется в книгах, при работе с данными Лапласа он покажет хорошую силу. Я ожидаю, что он будет иметь такую ​​же мощность, что и перестановочная версия асимптотического теста разницы в медиане (один из тестов, упомянутых в (с)).

Вопрос здесь дает реализацию R, которая использует тест Фишера, но этот код может быть адаптирован для использования вместо этого критерия хи-квадрат (который я рекомендовал бы даже в умеренных выборках); в качестве альтернативы есть пример код для него (не как функции) здесь .

Медианный тест обсуждается здесь , в Википедии , но не очень подробно (в связанном немецком переводе есть немного больше информации). Некоторые книги по непараметрике обсуждают это.