Ненормальные распределения с нулевой асимметрией и нулевым избыточным эксцессом?

В основном теоретический вопрос. Есть ли примеры ненормальных распределений, у которых первые четыре момента равны нормальным? Могут ли они существовать в теории?

Да, примеры с асимметрией и избыточным эксцессом, равными нулю, относительно легко построить. (Действительно, примеры (a) - (d) ниже также имеют среднечисленную асимметрию Пирсона 0)

(а) Например, в этом ответе приводится пример, в котором берется смесь 50-50 гамма-переменной (которую я называю $X$ ) и отрицательная величина второй, плотность которой выглядит следующим образом:

Очевидно, что результат является симметричным и не нормальным. Параметр масштаба здесь не важен, поэтому мы можем сделать его 1. Тщательный выбор параметра формы гаммы дает требуемый эксцесс:

1. Дисперсию этой двойной гаммы ( $Y$ ) легко определить с точки зрения гамма-вариации, на которой она основана: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .

2. Четвертый центральный момент переменной $Y$ такой же, как $E(X^4)$ , который для гаммы ( $\alpha$ ) равен $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

В результате эксцесс равен $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ . Это$3$когда$(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$, что происходит, когда$\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$.

(б) Мы могли бы также создать пример в виде смеси двух форм. Пусть $U_1\sim U(-1,1)$ и $U_2\sim U(-a,a)$ , и пусть $M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$. Ясно, что, учитывая, что$M$симметричен и имеет конечный диапазон, мы должны иметь$E(M)=0$; асимметрия также будет равна 0, а центральные моменты и исходные моменты будут одинаковыми.

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$.

Аналогично, $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$и поэтому эксцесс равен$\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Если мы выберем = √$a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$, тогда эксцесс равен 3, а плотность выглядит следующим образом:

(с) вот забавный пример. Пусть $X_i\stackrel{_\text{iid}}{\sim}\text{Pois}(\lambda)$ , для $i=1,2$ .

Пусть $Y$ представляет собой смесь из 50-50 $\sqrt{X_1}$ и$-\sqrt{X_2}$

$E(Y)=0$$E(|Y|)$$E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

по симметрии (и тому факту, что абсолютный третий момент существует) косо = 0

4th moment: $E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

куртоз = $\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

так когда $\lambda=\frac12$, эксцесс равен 3. Это случай, показанный выше.

(d) все мои примеры до сих пор были симметричными, так как симметричные ответы легче создавать - но также возможны асимметричные решения. Вот отдельный пример.

Как видите, ни один из этих примеров не выглядит особенно «нормальным». Было бы просто создать любое количество дискретных, непрерывных или смешанных переменных с одинаковыми свойствами. Хотя большинство моих примеров были сконструированы как смеси, в них нет ничего особенного , кроме того, что они часто являются удобным способом создания распределений со свойствами так, как вы хотите, немного похоже на создание объектов с помощью Lego.

Этот ответ дает некоторые дополнительные подробности о эксцессах, которые должны прояснить некоторые соображения, связанные с построением других примеров.

Вы можете подобрать больше моментов подобным образом, хотя для этого требуется больше усилий. Однако, поскольку MGF нормали существует, вы не можете сопоставить все целочисленные моменты нормали с некоторым ненормальным распределением, поскольку это будет означать, что их MGF совпадают, подразумевая, что второе распределение также было нормальным.

Хорошие моменты сделаны Glen_b. Я бы только добавил рассмотрение функции Дельты Дирака в качестве дополнительного зерна для мельницы. Как отмечает Википедия, «DDF - это обобщенная функция, или распределение, на линии вещественных чисел, которая равна нулю везде, кроме нуля, с интегралом одного по всей вещественной линии», вследствие чего все более высокие моменты DDF нуль.

Пол Дирак применяет его к квантовой механике в своей книге 1931 года «Принципы квантовой механики», но ее истоки восходят к Фурье, Лесбегу, Коши и другим. У DDF также есть физические аналоги в моделировании распределения, например, трещины летучей мыши, поражающей бейсбольный мяч.