Почему супремум броуновского моста имеет распределение Колмогорова – Смирнова?

Распределение Колмогорова – Смирнова известно из теста Колмогорова – Смирнова . Тем не менее, это также распределение супремума броуновского моста.

Поскольку это далеко не очевидно (для меня), я хотел бы попросить вас интуитивно объяснить это совпадение. Ссылки также приветствуются.

— Расмус
источник

@GaBorgulya: Что ты изменил?

— Расмус

Смотрите здесь и здесь .

— кардинал

Ответы:

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

где $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

по CLT у вас $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

это интуиция ...

броуновский мост $B(t)$ имеет дисперсию http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge, заменив на . Это для одного ... $t(1-t)$ $t$ $F(x)$ $x$

Вам также необходимо проверить ковариацию, и, следовательно, все еще легко показать (CLT), что для ( ) где есть с $x_1,\dots,x_k$ $(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$ $(B_1,\dots,B_k)$ $\mathcal{N}(0,\Sigma)$ , . $\Sigma=(\sigma_{ij})$ $\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

Трудно часть, чтобы показать , что распределение suppremum предела является супремумом распределения предела ... Чтобы понять , почему это происходит , требует некоторой эмпирической теории процесса, чтение книг , таких , как ван дер Ваарт и Welner (не легко) , Название этой теоремы - Теорема Донскера http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

— Робин Жирар
источник

Разве мы не должны применять CLT ко всем конечномерным маргинальным распределениям?

— Расмус

Вы попросили интуитивный ответ :) также я предпочитаю не беспокоить вас сложной математической частью, которая должна показать, что сходимость для всех t подразумевает сходимость (по закону) супремума ... Вы хотите, чтобы я завершил ответ ?

— Робин Жирар

Дорогой Робин Жирар, я думаю, что ваш ответ в порядке. Спасибо!

— Расмус

трудная часть - показать слабую конвергенцию. Тогда сходимость супремумов следует непосредственно из теоремы о непрерывном отображении. Этот результат можно найти в «Сходимости вероятностных мер» Биллингсли. Ван дер Ваарт и Уэлнер дают более общий результат, и их книга действительно очень крутая :)

— крутая

@robingirard Я лично хотел бы увидеть «полный ответ» со всеми «хитрыми математическими

— частями

Для Колмогорова-Смирнова рассмотрим нулевую гипотезу. Это говорит о том, что образец взят из определенного дистрибутива. Так что если вы построите эмпирическую функцию распределения для $n$ выборок , в пределе бесконечных данных оно будет сходиться к базовому распределению. $f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

Для конечной информации, это будет выключено. Если одно из измерений , то при эмпирическая функция распределения делает шаг вверх. Мы можем рассматривать это как случайное блуждание, которое должно начинаться и заканчиваться истинной функцией распределения. Как только вы это узнаете, вы обыскиваете литературу для огромного количества информации, известной о случайных прогулках, чтобы выяснить, какое наибольшее ожидаемое отклонение такой прогулки. $q$ $x=q$

Вы можете проделать тот же трюк с любой нормой различия между эмпирическими и базовыми функциями распределения. Для $p$ $p=2$ $p$

— user873
источник