Повторные измерения ANOVA: каково предположение о нормальности?

Меня смущает предположение о нормальности при повторных измерениях ANOVA. В частности, мне интересно, какие именно нормы должны быть соблюдены. Читая литературу и ответы на резюме, я натолкнулся на три разные формулировки этого предположения.

1. Зависимая переменная внутри каждого (повторного) условия должна распределяться нормально.

   Часто утверждается, что у RANOVA те же предположения, что и у ANOVA, плюс сферичность. Это требование в статистике Обнаружения Филда, а также в статье Википедии на эту тему и в тексте Лоури .

2. Остатки (различия между всеми возможными парами?) Должны распределяться нормально.

   Я нашел это утверждение в нескольких ответах на резюме ( 1 , 2 ). По аналогии rANOVA с парным t-тестом это также может показаться интуитивным.

3. Многомерная нормальность должна быть удовлетворена.

   Википедия и этот источник упоминают об этом. Кроме того, я знаю, что RANOVA можно поменять местами с MANOVA, что может оправдать это требование.

Это как-то эквивалентно? Я знаю, что многомерная нормальность означает, что любая линейная комбинация DV нормально распределена, поэтому 3. естественно будет включать 2., если я правильно понимаю последнее.

Если это не одно и то же, каково «истинное» предположение о RANOVA? Можете ли вы предоставить ссылку?

Мне кажется, что наибольшая поддержка первой претензии. Однако это не соответствует ответам, которые обычно приводятся здесь.

---

Линейные смешанные модели

Благодаря подсказке @ utobi я теперь понимаю, как можно переформулировать rANOVA как линейную смешанную модель. В частности, чтобы смоделировать, как артериальное давление изменяется со временем, я бы смоделировал ожидаемое значение как: где y i j - измерения артериального давления, a i - средняя кровь давление i-го субъекта и t i j как j-й раз, когда i-й субъект был измерен, b

$$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$$ $y_{ij}$$a_{i}$$i$$t_{ij}$$j$$i$$b_i$Это означает, что изменение артериального давления также различно для разных субъектов. Оба эффекта считаются случайными, поскольку выборка субъектов представляет собой лишь случайную подгруппу населения, которая представляет основной интерес.

Наконец, я попытался подумать о том, что это значит для нормальности, но без особого успеха. Перефразируя МакКаллока и Сирла (2001, стр. 35. Уравнение (2.14)):

$$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$$

Я понимаю, что это означает, что

4. Данные каждого человека должны быть нормально распределены, но это нецелесообразно для тестирования с несколькими временными точками.

Я принимаю третье выражение, чтобы означать, что

5. средние показатели по отдельным предметам обычно распределяются. Обратите внимание, что это еще две отличные возможности в дополнение к трем, упомянутым выше.

---

McCulloch, CE & Searle, SR (2001). Обобщенные, линейные и смешанные модели . Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc.

Это простейшая модель ANOVA с повторными измерениями, если рассматривать ее как одномерную модель:

$$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$$

$i$$t$$y_{it}$$a_{i}$$b_{t}$$\epsilon_{it}$

$a_{i}$$F$$b_{1}=...=b_{t}=0$

$F$

$$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$$

$F$

Если вы хотите рассматривать ANOVA с повторными измерениями как многовариантную модель, предположения о нормальности могут отличаться, и я не могу их расширять за пределы того, что вы и я видели в Википедии.

Объяснение нормальности повторного измерения ANOVA можно найти здесь:

Понимание предположений ANOVA для повторных измерений для правильной интерпретации результатов SPSS

$3 \rightarrow 1$$3 \rightarrow 2$$5$ : вы в основном говорите о случайном эффекте индивидуального уровня, имеющем нормальное распределение.