Какова вероятность того, что случайных точек в измерениях линейно разделимы?

Для точек данных, каждая из которых имеет признаков, помечены как , остальные помечены как . Каждый признак принимает значение от случайным образом (равномерное распределение). Какова вероятность того, что существует гиперплоскость, которая может разделить два класса?$n$$d$$n/2$$0$$n/2$$1$$[0,1]$

Давайте сначала рассмотрим самый простой случай, т.е. .$d = 1$

Предполагая, что в данных нет дубликатов.

Если $n\leq d+1$ , вероятность равна $\text{Pr}=1$ .

Для других комбинаций $(n,d)$ см. Следующий график:

Я создал этот график, имитируя входные и выходные данные, как указано в ОП. Линейная отделимость была определена как сбой сходимости в модели логистической регрессии из -за эффекта Хаука-Доннера .

Видно, что вероятность возрастает при увеличении . Фактически, мы могли бы подобрать модель, связывающую и , и это было результатом:$n$$n, d$$p$

Код для сюжета (у Юлии):

using GLM

ds = 10; #number of dimensions to be investigated
ns = 100 #number of examples to be investigated
niter = 1000; #number of iterations per d per n
P = niter * ones(Int64, ds, ns); #starting the number of successes

for d in 1:ds
    for n in (d+1):ns
        p = 0 #0 hits
        for i in 1:niter
            println("Dimensions: $d; Samples: $n; Iteration: $i;")
            try #we will try to catch errors in the logistic glm, these are due to perfect separability
                X = hcat(rand((n,d)), ones(n)); #sampling from uniform plus intercept
                Y = sample(0:1, n)  #sampling a binary outcome
                glm(X, Y, Binomial(), LogitLink())
            catch
                p = p+1 #if we catch an error, increase the count
            end
        end
        P[d,n] = p
    end
end

using Plots

gui(heatmap(P./niter, xlabel = "Number of Samples", ylabel = "Number of Dimensions", title = "Probability of linear separability"))

Код для модели, относящейся к (в Юлии):$(n,d)$$p$

probs = P./niter
N = transpose(repmat(1:ns, 1, ds))
D = repmat(1:ds, 1, ns)

fit = glm(hcat(log.(N[:]), D[:], N[:].*D[:], ones(ds*ns)), probs[:], Binomial(), LogitLink())
coef(fit)
#4-element Array{Float64,1}:
# -4.58261
#  1.37271
# -0.0235785
#  5.82944

gui(heatmap(reshape(predict(fit), ds, ns), xlabel = "Number of Samples", ylabel = "Number of Dimensions", title = "Fit of probability of linear separability"))