Почему модели со смешанными эффектами разрешают зависимость?

Скажем, нас интересует, как на экзаменационные оценки учеников влияет количество часов, которые они изучают. Чтобы исследовать это соотношение, мы могли бы запустить следующую линейную регрессию:

$$\text{exam.grades}_i = a + \beta_1 \times \text{hours.studied}_i + e_i$$

Но если мы выбираем учеников из нескольких разных школ, мы можем ожидать, что ученики в одной и той же школе будут больше похожи друг на друга, чем ученики из разных школ. Чтобы справиться с этой проблемой зависимости, совет во многих учебниках / в Интернете - запускать смешанные эффекты и поступать в школу как случайный эффект. Таким образом, модель будет : exam.grades i = a + β 1 × hours.stueded i + school j + e i Но почему это решает проблему зависимости, которая присутствовала в линейной регрессии?

$$\text{exam.grades}_i = a + \beta_1 \times \text{hours.studied}_i + \text{school}_j + e_i$$

Пожалуйста, ответьте, как будто вы разговариваете с 12-летним

$0$ , когда школа различна.

$$Y_{s,i} = \alpha + \text{hours}_{s,i} \beta + \text{school}_s + e_{s, i}$$ $s$$i$$\text{school}_s$$\mathcal N(0, \tau)$$e_{s, i}$$\mathcal N(0, \sigma^2)$,

$$\left[ \alpha + \text{hours}_{s,i} \beta \right]_{s,i}$$ которое определяется количеством отработанных часов.

$Y_{s,i}$$Y_{s',i'}$$0$$s \ne s'$ , что означает, что отклонение оценок от ожидаемых значений является независимым, когда учащиеся не находятся в одной школе.

$Y_{s,i}$$Y_{s,i'}$$\tau$$i \ne i'$$Y_{s,i}$$\tau + \sigma^2$ : оценки учеников из одной и той же школы будут иметь соответствующие отклонения от ожидаемых значений. ,

Пример и смоделированные данные

$\sigma^2 = \tau = 1$

set.seed(1)
school        <- rep(1:5, each=10)
school_effect <- rnorm(5)

school_effect_by_ind <- rep(school_effect, each=10)
individual_effect    <- rnorm(50)

$\text{school}_s + e_{s, i}$

plot(individual_effect + school_effect_by_ind, col=school, pch=19, 
     xlab="student", ylab="grades departure from expected value")
segments(seq(1,length=5,by=10), school_effect, seq(10,length=5,by=10), col=1:5, lty=3)

$\text{school}_s$$\alpha + \text{hours} \beta$ , оценка, определяемая временем, потраченным на работу. В результате ученики в одной школе больше похожи друг на друга, чем ученики из разных школ, как вы указали в своем вопросе.

Матрица дисперсии для этого примера

$\text{school}_s$$e_{s,i}$

$$\left[\begin{matrix} A & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & A \end{matrix}\right]$$ $10\times 10$$A$ $$A = \left[\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}\right].$$