Интуиция для высших моментов в круговой статистике

В круговой статистике, среднее значение случайной величины со значениями на окружности определяются как (см википедия ). Это очень естественное определение, как и определение дисперсии Таким образом, нам не понадобился второй момент, чтобы определить дисперсию! $Z$ $S$

м_{1} (Z) знак равно \int_{S} Z п^{Z} (θ) d θ

$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$

В a р (Z) знак равно 1 - | м_{1} (Z) |,

$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$

Тем не менее, мы определим высшие моменты Я допускаю, что на первый взгляд это выглядит довольно естественно и очень похоже на определение в линейной статистике. Но все же я чувствую себя немного неловко и имею следующее

м_{N} (Z) знак равно \int_{S} Z^{N} п^{Z} (θ) d θ,

$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$

Вопросов:

1. Что измеряется высшими моментами определенными выше (интуитивно)? Какие свойства распределения можно охарактеризовать их моментами?

2. При вычислении высших моментов мы используем умножение комплексных чисел, хотя мы думаем о значениях наших случайных величин просто как векторы на плоскости или как углы. Я знаю, что в данном случае сложное умножение по сути является сложением углов, но все же: почему сложное умножение является значимой операцией для циклических данных?

— Расмус
источник

Моменты - это коэффициенты Фурье вероятностной меры $P^Z$ , Предположим (ради интуиции), что $Z$ имеет плотность. Тогда аргумент (угол от $1$ в комплексной плоскости) $Z$ имеет плотность на $[0,2\pi)$ и моменты являются коэффициентами, когда эта плотность разлагается в ряд Фурье. Таким образом, применяется обычная интуиция о рядах Фурье - они измеряют силы частот в этой плотности.

Что касается вашего второго вопроса, я думаю, что вы уже дали ответ: «в данном случае сложное умножение - это, по сути, сложение углов».

— Марк Мекес
источник

Спасибо, это действительно полезно. (Позор мне за то, что я не узнал ряд Фурье, даже когда бросился к нему ...)

— Расмус

Означает ли это, что моменты кругового распределения следует сравнивать с характеристической функцией линейного распределения, а не с ее моментами?

— Расмус

@Rasmus: Я думаю, это зависит от того, что именно вы хотите делать с информацией, но в целом я бы сказал, что да.

— Марк Мекес