Достаточность или недостаточность

Рассмотрим случайную выборку где - случайные переменные где . Проверьте, является ли достаточной статистикой для . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

Во-первых, как мы можем найти распределение для ? Или это должно быть разбито на и будет ли это следовать за ? Я думаю, что нет, потому что обратите внимание, что все переменные здесь не являются независимыми. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

С другой стороны, если я использую условие факторизации, просто рассматривая объединенный pmf из то где . $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

Это показывает, что недостаточно. $T$

Но что, если я хочу следовать определению и применить чтобы проверить, не зависит ли это отношение от ? Тогда мне нужно знать распределение . Что же тогда является распределением ? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Лэндон Картер
источник

Подсказка: вам не нужно знать полное распределение . Рассмотрим, например, случай : каково условное распределение вероятностей ?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Если то . Итак, который зависит от , верно?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Лэндон Картер

Это правильная идея - но я не понимаю, почему вы добавляете две вероятности. Не в вектор ? (Если хотите, вы можете использовать тот же тип вычислений, чтобы найти полное распределение (оно может достигать только значений ), но это больше не нужно, не так ли? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Да правильно. Спасибо! Так что, как только мы покажем, что это отношение не зависит от хотя бы для одной выборки, тогда все готово! Спасибо. И С НОВЫМ ГОДОМ :)

p

$p$

— Лэндон Картер

Да, является вектором, но что более важно, и вероятность . Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Лэндон Картер

У меня было обсуждение с "whuber", и, возможно, я получил (правильный?) Подсказку, чтобы посмотреть на любую точку выборки: оценивать в этой точке выборки и проверьте, не зависит ли это отношение от параметра, в данном случае . $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

Итак, возьмите затем . Поэтому мы оцениваем ТеперьБлагодаря свойству ,Также $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) and P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Следовательно, который явно зависит от , и, следовательно, не является достаточной статистикой.

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Лэндон Картер
источник