Пример двух * коррелированных * нормальных переменных, сумма которых не является нормальной

Я знаю несколько хороших примеров пар коррелированных случайных величин, которые незначительно нормальны, но не в совокупности нормальны. Смотрите этот ответ на Дилип Sarwate , и этот по кардиналу .

Мне также известен пример двух нормальных случайных величин, сумма которых не является нормальной. Смотрите этот ответ по Макро . Но в этом примере две случайные величины некоррелированы.

Есть ли пример двух нормальных случайных величин, которые имеют ненулевую ковариацию и чья сумма не является нормальной? Или можно доказать, что сумма любых двух коррелированных нормальных случайных величин, даже если они не являются двумерными нормальными, должна быть нормальной?

[Контекст: У меня вопрос домашнего задания , которое запрашивает распределение , где Х и Y являются стандартными нормалями с корреляцией р . Я думаю, что вопрос хотел указать, что они двумерные, нормальные. Но мне интересно, можно ли что-то сказать без этого дополнительного предположения для ненулевого ρ .]$aX+bY$$X$$Y$$\rho$$\rho$

Спасибо!

Почти любая двумерная связка будет производить пару нормальных случайных величин с некоторой ненулевой корреляцией (некоторые будут давать ноль, но это особые случаи). Большинство (почти все) из них будут давать ненормальную сумму.

В некоторых семействах связок может быть получена любая желаемая (популяционная) корреляция Спирмена ; трудность заключается только в нахождении корреляции Пирсона для нормальных полей; в принципе это выполнимо, но в общем случае алгебра может быть довольно сложной. [Однако, если у вас есть корреляция численности Спирмена, корреляция Пирсона - по крайней мере, для полей с легкими хвостами, таких как гауссианы - может быть не слишком далека от нее во многих случаях.]

Все, кроме первых двух примеров в заговоре кардинала, должны давать ненормальные суммы.

Некоторые примеры - первые два принадлежат к тому же семейству копул, что и пятый пример двумерного распределения кардинала, третий - вырожденный.

Пример 1:

$\theta=-0.7$

Здесь сумма очень отчетливо достигает пика и довольно сильно искажена

$\ $

Пример 2:

$\theta=2$

$-(x+y)$

$\hspace{1cm}$

$\ $

$X^*=-X$$Y^*=-Y$

С другой стороны, если мы просто отрицаем одну из них, мы изменили бы связь между силой асимметрии и знаком корреляции (но не ее направлением).

Стоит также поиграть с несколькими различными копулами, чтобы понять, что может произойти с двумерным распределением и нормальными полями.

Можно поэкспериментировать с гауссовыми полями с t-копулой, не беспокоясь о деталях связок (генерировать из коррелированного двумерного t, что легко, затем преобразовать в однородные поля с помощью интегрального преобразования вероятности, а затем преобразовать однородные поля в гауссовский через обратный нормальный cdf). Он будет иметь ненормальную, но симметричную сумму. Поэтому, даже если у вас нет хороших пакетов copula, вы все равно можете делать некоторые вещи довольно легко (например, если бы я пытался быстро показать пример в Excel, я бы, вероятно, начал с t-copula).

-

Пример 3 : (это больше похоже на то, с чего я должен был начать изначально)

$U$$V=U$$0\leq U<\frac{1}{2}$$V=\frac{3}{2}-U$$\frac{1}{2}\leq U\leq 1$$U$$V$$X=\Phi^{-1}(U), Y=\Phi^{-1}(V)\,$$X+Y$

В этом случае корреляция между ними составляет около 0,66.

$X$$Y$

$U$$(\frac{1}{2}-c,\frac{1}{2}+c)$$c$$[0,\frac{1}{2}]$$V$

Некоторый код:

library("copula")
par(mfrow=c(2,2))

# Example 1
U <- rCopula(100000, claytonCopula(-.7))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
       col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
       main="Bivariate distribution")
text(-3,-1.2,"cor = -0.68")
text(-2.5,-2.8,expression(paste("Clayton: ",theta," = -0.7")))

Второй пример:

#--
# Example 2:
U <- rCopula(100000, claytonCopula(2))
x <- qnorm(U[,1])
y <- qnorm(U[,2])
cor(x,y)
hist(x,n=100)
hist(y,n=100)
xysum <- rowSums(qnorm(U))
hist(xysum,n=100,main="Histogram of x+y")
plot(x,y,cex=.6,
    col=rgb(0,100,0,70,maxColorValue=255),
    main="Bivariate distribution")
text(3,-2.5,"cor = 0.68")
text(2.5,-3.6,expression(paste("Clayton: ",theta," = 2")))
#
par(mfrow=c(1,1))

Код для третьего примера:

#--
# Example 3:
u <- runif(10000)
v <- ifelse(u<.5,u,1.5-u)
x <- qnorm(u)
y <- qnorm(v)
hist(x+y,n=100)

Я придумал один пример. X - стандартная нормальная переменная, а Y = -X. Тогда X + Y = 0, что постоянно. Кто-нибудь может подтвердить, что это контрпример?

Мы знаем, что если X, Y совместно нормальны, то их сумма также нормальна. Но что, если их соотношение -1?

Я немного запутался по этому поводу. Спасибо.