Пример противоречивой оценки максимального правдоподобия

Я читаю комментарий к статье, и автор заявляет, что иногда, даже если оценки (найденные по ОД или максимальному квазиликтуализму) могут быть непоследовательными, сила отношения правдоподобия или теста отношения квази-правдоподобия все еще может сходиться к 1, поскольку число наблюдаемых данных стремится к бесконечности (непротиворечивость теста). Как и когда это происходит? Вы знаете какую-нибудь библиографию?

[Я думаю, что это может быть примером ситуации, обсуждаемой в вашем вопросе.]

Есть многочисленные примеры противоречивых оценок ML. Несоответствие обычно наблюдается с рядом слегка усложненных проблем со смешиванием и проблем с цензурой.

[Непротиворечивость теста в основном заключается только в том, что мощность теста для (фиксированной) ложной гипотезы увеличивается до единицы как .]$n\to\infty$

Рэдфорд Нил приводит пример в своей записи в блоге 2008-08-09 « Непоследовательная оценка максимального правдоподобия:« обычный »пример» . Это предполагает оценку параметра в:$\theta$

(Нил использует там, где у меня есть ), где оценка ML для будет стремиться к как (и действительно, вероятность может быть намного выше в пике около 0, чем при истинном значении для довольно скромной выборки) размеры). Тем не менее это тот случай, когда есть вершина около истинного значения , она просто меньше, чем около 0.θ θ 0 n → ∞ $t$$\theta$$\theta$$0$$n\to\infty$$\theta$

Представьте теперь два случая, относящихся к этой ситуации:

a) выполнение теста отношения правдоподобия против альтернативного ;H 1 : θ < θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta<\theta_0$

б) выполнение теста отношения правдоподобия против альтернативного .H 1 : θ ≠ θ $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta\neq\theta_0$

В случае (a) представьте, что истина (так что альтернатива истинна, а - это другая сторона истинной ). Тогда, несмотря на то, что вероятность, очень близкая к 0, превысит вероятность в , вероятность в тем не менее, превышает вероятность в даже в небольших выборках, и отношение будет продолжать расти с ростом , таким образом, чтобы вероятность отклонения в тесте отношения правдоподобия была равна 1. 0 θ θ θ θ 0 n → $\theta<\theta_0$$0$$\theta$$\theta$$\theta$$\theta_0$$n\to\infty$

Действительно, даже в случае (b), пока является фиксированным и ограниченным от , также должен быть случай, когда отношение правдоподобия будет расти таким образом, чтобы сделать вероятность отклонения в тесте отношения правдоподобия также подход 1.$\theta_0$$0$

Так что это может показаться примером противоречивой оценки ML, где мощность LRT должна, тем не менее, перейти к 1 (кроме случаев, когда ).$\theta_0=0$

[Обратите внимание, что в этом нет ничего такого, чего бы не было в ответе Уубера, который, я думаю, является примером ясности и намного проще для понимания разницы между последовательностью теста и непротиворечивостью оценки. Тот факт, что противоречивая оценка в конкретном примере не была ML, на самом деле не имеет значения, поскольку понимание этой разницы - и привнесение противоречивой оценки, которая является конкретно ML - как я пытался сделать здесь, - на самом деле не меняет объяснение любым существенным способом. Единственный реальный смысл приведенного здесь примера состоит в том, что я думаю, что он решает вашу проблему с использованием оценщика ML.]

Пусть получено из нормального распределения. Рассмотрим оценку$(X_n)$$(\mu, 1)$

Распределение является нормальным . Это сходится к , показывая, что это противоречиво.$T(X_1,\ldots,X_n)=1+\bar{X}$$(\mu+1, 1/\sqrt{n})$$\mu+1\ne \mu$

Сравнивая нулевую гипотезу к простой альтернативе, скажем , отношение правдоподобия журнала будет точно таким же , как на основе LLR вместо . (По сути, полезен для сравнения нулевой гипотезы с альтернативной гипотезой ) Поскольку тест на основе среднего имеет мощность, сходящуюся к для любого test size и любой размер эффекта, мощность теста с использованием самого также сходится к .$\mu=\mu_0$$\mu=\mu_A$$\bar{X}$$T$$T$$\mu+1=\mu_0+1$$\mu+1=\mu_A+1$$1$$\alpha\gt 0$$T$$1$