Какое распределение приводит к добавлению двух распределений Парето

Мне интересно, какое распределение приводит к добавлению двух (или более) распределений Парето первого типа вида . Экспериментально это выглядит как двухрежимный степенной закон, асимптотический для разности альфа. $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
источник

Последнее замечание звучит так, как будто вы рассматриваете альфы, различающиеся по распределению. Собираетесь ли вы исправить домены (или «весы») в дистрибутивах или нет? Быстрый расчет Mathematica показывает, что PDF включает в качестве одного из своих выражений произведение и разность распределения Beta в и бета-распределение в . Унимодально для . Этот результат не подходит для больших и , поэтому есть ли ограничения на возможные значения параметров, которые вас интересуют?

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— Whuber

Следующая статья предлагает расширение CDF и способ его аппроксимации: docs.isfa.fr/labo/2012.16.pdf

— RUser4512

Отредактировано, чтобы быть немного более читабельным. Распределения добавить путем свертки. Распределение Парето по частям определяется как для и 0 для . Свертка двух функций Парето и : $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

a (- 1)^{- b} b k^{a} j^{b} Γ (a + b + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{k})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{k})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

где и 0 для , которое, хотя и является сложным полем в пределах этого термина, имеет действительное значение вне его. является гипергеометрическим2F1, перенастроенным здесь в коде Mathematica. Не все выборы параметров приведут к положительным значениям функций плотности. Вот пример того, когда они положительные. Для двух распределений Парето пусть a = 2, b = 3, j = 0,1 и k = 0,3. и их графики показаны синим цветом для функции {k, a} и оранжевым цветом для функции {j, b}. Затем их свертка графически выглядит так, что при осмотре хвостов она выглядит так, где зеленая свертка. $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

От вашего вопроса вы можете спросить об обычном добавлении двух дистрибутивов Pareto. В этом случае площадь под кривой равна двум, поэтому сумма не является функцией плотности, которая должна иметь площадь под кривой, равной единице. Однако, если это вопрос, то для упрощается до , который имеет предел только если , и равен 0 или бесконечности во всех других случаях. Другими словами, арифметическая сумма двух распределений Парето имеет только хвосты, которые являются разностью между и когда $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ и арифметическая сумма не является функцией плотности, и сумма должна быть масштабирована для двух вероятностей, , чтобы быть функцией плотности. Хотя арифметическое добавление функций плотности для определения другой функции плотности происходит, это необычно. Одним из примеров этого является фармакокинетика, где сумма двух или более экспоненциальных распределений используется для определения функции плотности. Короче говоря, это не то, что я бы порекомендовал. $1=p+q$

Надеюсь, это ответит на ваш вопрос. Если это не так, пожалуйста, возразите против моего ответа или добавьте дополнительную информацию.

— деревенщина
источник

@ Gung Спасибо за уборку. Нужен ли мне какой-то этикет для этого? Получается ли репутация, выделенная для очистки, или просто добрая воля?

— Карл

Пожалуйста, @Carl. Если ваша репутация <2k (?), Когда вы предлагаете редактирование и оно одобрено, вы получаете +2. После этого изменения ничего вам не дадут. Мне не нужен представитель, так что это не проблема. Ваш ответ здесь хороший (+1), я просто отредактировал его, чтобы его было немного легче читать.

— gung - Восстановить Монику