Какова максимальная оценка вероятности ковариации двумерных нормальных данных, когда известны среднее значение и дисперсия?

Предположим, у нас есть случайная выборка из двумерного нормального распределения, которая имеет нули в качестве средних значений и единицы в качестве дисперсий, поэтому единственным неизвестным параметром является ковариация. Что такое MLE ковариации? Я знаю, что это должно быть что-то вроде но откуда мы это знаем? $\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}x_j y_j$

— Stacy
источник

Для начала, разве вы не думаете, что немного глупо оценивать средние значения с помощью и когда на самом деле мы знаем, что они равны 0 и 0?

\bar{x}

$\bar{x}$

\bar{y}

$\bar{y}$

— Вольфганг

Очень недоверчивый, исправил это. До сих пор не понимаю, как это может легко последовать. Это похоже на выборочную дисперсию, но почему это MLE (если это не так, и я сделал еще одну ошибку)

— Стейси

Вы удалили ? Принятие этой формулы не означает, что вы рассматриваете и как оценки средних значений.

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i - \bar y)$

\bar{x}

$\bar x$

\bar{y}

$\bar y$

— Стефан Лоран

@ StéphaneLaurent Да, в первом посте формула была дана так, как вы ее написали.

— Вольфганг

Оценочный коэффициент для коэффициента корреляции (который в случае двумерного стандартного нормаля равен ковариации)

\tilde{r} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

$\tilde r = \frac 1n\sum_{i=1}^nx_iy_i$

метод оценки моментов, ковариация образца. Давайте посмотрим, совпадает ли это с оценкой максимального правдоподобия, . $\hat \rho$

Совместная плотность стандартного двухмерного нормальна коэффициент корреляции İŞ $\rho$

f (x, y) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp {- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y}{2 (1 - ρ^{2})}}

$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{x^2 +y^2 -2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right\}$

и таким образом, логарифмическая функция правдоподобия из н.о.р. выборки размера является $n$

\ln L = - n \ln (2 π) - \frac{n}{2} \ln (1 - ρ^{2}) - \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} - 2 ρ x_{i} y_{i})

$\ln L = -n\ln(2\pi) -\frac n2\ln(1-\rho^2) - \frac 1{2(1-\rho^2)}\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2 -2\rho x_iy_i)$

(здесь предположение iid, конечно же, относится к каждому тиражу из двумерной популяции)

Взяв производную по и установив ее равной нулю, получим полином 3d-степени по : $\rho$ $\rho$

\hat{ρ} : n {\hat{ρ}}^{3} - (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}) {\hat{ρ}}^{2} - (1 - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2})) n \hat{ρ} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 0

$\hat \rho: n\hat \rho^3 -\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)\hat\rho^2 -\left(1- \frac 1n\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2) \right)n\hat \rho - \sum_{i=1}^nx_iy_i =0$

То , что вычисления правильны можно проверить , если один имеет ожидаемое значение производной оценивается в истинном коэффициенте -это будет равен нуль. $\rho$

Для компактности, записи , который является суммой образца дисперсии и . Если мы разделим выражение 1-й производной на , появится оценка MoM, а именно $(1/n)\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2) = (1/n)S_2$ $X$ $Y$ $n$

\hat{ρ} : {\hat{ρ}}^{3} - \tilde{r} {\hat{ρ}}^{2} + [(1 / n) S_{2} - 1] \hat{ρ} - \tilde{r} = 0

$\hat \rho: \hat \rho^3 -\tilde r \hat \rho^2 + \big[(1/n)S_2-1\big]\hat \rho -\tilde r=0$

\Rightarrow \hat{ρ} ({\hat{ρ}}^{2} - \tilde{r} \hat{ρ} + [(1 / n) S_{2} - 1]) = \tilde{r}

$\Rightarrow \hat \rho\Big(\hat \rho^2 -\tilde r \hat \rho + \big[(1/n)S_2-1\big] \Big) = \tilde r$

Делая алгебру, нетрудно заключить, что мы получим тогда и только тогда, когда , т.е. только если так получится, что сумма выборочных дисперсий равна сумма истинных отклонений. Так в общем $\hat \rho = \tilde r$ $(1/n)S_2 =2$

\hat{ρ} \neq \tilde{r}

$\hat \rho \neq \tilde r$

Так что здесь происходит? Кто-нибудь умнее объяснит это, на данный момент давайте попробуем симуляцию: я сгенерировал iid выборку из двух стандартных нормалей с коэффициентом корреляции . Размер выборки был . Значения выборки были $\rho=0.6$ $n=1.000$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 522.05, S_{2} = 1913.28

$\sum_{i=1}^nx_iy_i = 522.05,\;\;S_2 = 1913.28$

Метод Метода Моментов дает нам

\tilde{r} = \frac{522.05}{1000} = 0.522

$\tilde r = \frac {522.05}{1000} = 0.522$

Что происходит с логарифмической вероятностью? Визуально у нас есть

введите описание изображения здесь

Численно мы имеем

\begin{array}{rrr} ρ & 1st deriv & lnL \\ 0.5 & - 70.92 & - 783.65 \\ 0.51 & - 59.41 & - 782.47 \\ 0.52 & - 47.7 & - 781.48 \\ 0.53 & - 35.78 & - 780.68 \\ 0.54 & - 23.64 & - 780.1 \\ 0.55 & - 11.29 & - 779.75 \\ 0.56 & 1.29 & - 779.64 \\ 0.57 & 14.1 & - 779.81 \\ 0.58 & 27.15 & - 780.27 \\ 0.59 & 40.44 & - 781.05 \\ 0.6 & 53.98 & - 782.18 \end{array}

$\begin{array}{| r | r | r |} \hline \hline ρ&\text{1st deriv}&\text{lnL}\\ \hline 0.5&-70.92&-783.65\\ 0.51&-59.41&-782.47\\ 0.52&-47.7&-781.48\\ 0.53&-35.78&-780.68\\ 0.54&-23.64&-780.1\\ 0.55&-11.29&-779.75\\ 0.56&1.29&-779.64\\ 0.57&14.1&-779.81\\ 0.58&27.15&-780.27\\ 0.59&40.44&-781.05\\ 0.6&53.98&-782.18\\ \hline \end{array}$

и мы видим, что логарифмическое правдоподобие имеет максимум a tad до где также 1-я производная становится равной нулю . Никаких сюрпризов для значений не показано. Также 1-я производная не имеет другого корня. $\rho=0.56$ $(\hat \rho = 0.558985)$ $\rho$

Таким образом, это моделирование согласуется с результатом, что оценка максимального правдоподобия не равна методу оценки моментов (который является выборочной ковариацией между двумя rv).

Но похоже, что «все» говорят, что это должно … так что кто-то должен придумать объяснение.

ОБНОВИТЬ

Ссылка, которая доказывает, что MLE является оценкой Метода Моментов: Anderson, TW, & Olkin, I. (1985). Оценка максимального правдоподобия параметров многомерного нормального распределения. Линейная алгебра и ее приложения, 70, 147-171.
Имеет ли значение, что здесь все средства и различия могут свободно изменяться и не фиксироваться?

... Вероятно, да, потому что комментарий @ guy в другом (теперь удаленном) ответе говорит о том, что при заданных параметрах среднего и дисперсии двумерная нормаль становится членом изогнутого экспоненциального семейства (и поэтому некоторые результаты и свойства изменяются) ... который кажется единственным способом, который может согласовать два результата.

— Алекос Пападопулос
источник

Это немного удивительно, но после некоторых размышлений этого следовало ожидать. Проблему можно перефразировать как оценку коэффициента регрессии в модели где . Это не линейная модель, поэтому нет оснований ожидать, что MLE будет простым точечным произведением. Та же логика показывает (я думаю!) , Что если мы знаем только , то ОМП является и если мы знаем только . Если мы не знаем ни того, ни другого, мы получаем оценку вашего MOM.

ρ

$\rho$

Y = ρ X + ϵ

$Y = \rho X + \epsilon$

ϵ \sim N (0, {\sqrt{1 - ρ^{2}}}^{2})

$\epsilon \sim \mathcal N(0, \sqrt{1 - \rho^2}^2)$

Var (X)

$\mbox{Var}(X)$

x^{'} y / x^{'} x

$x'y / x'x$

x^{'} y / y^{'} y

$x'y / y'y$

Var (Y)

$\mbox{Var}(Y)$

— парень

@ Гай: Очень интересно. Я думаю, что эти аргументы, если их немного расширить, вполне заслуживают публикации в качестве отдельного ответа!

— амеба

@ парень, я не думаю, что эта формулировка эквивалентна, потому что логарифмическая правдоподобие в настройке регрессии содержит квадрат . Коэффициент связанный с отсутствует в формулировке двумерной плотности.

ϵ^{2} = (y - ρ x)^{2} = y^{2} - 2 ρ x y + ρ^{2} x^{2}

$\epsilon^2=(y-\rho x)^2 = y^2 -2\rho xy + \rho^2 x^2$

ρ^{2}

$\rho^2$

x^{2}

$x^2$

— Алекос Пападопулос

Я предполагаю, что . Представьте, что и , тогда ожидается оценка .

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i - \bar y)$

n = 2

$n=2$

y_{1} = y_{2}

$y_1=y_2$

0

$0$

— Стефан Лоран

@AlecosPapadopoulos . Термин отменяется знаменателем , поэтому единственный термин из данных, который вносит свой вклад в исходное логарифмическое правдоподобие: . Но это также непосредственно из хорошо известной факторизации , . Другие мои утверждения неверны, поскольку я не включил в них термин .

x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y = (1 - ρ^{2}) x^{2} + (y - ρ x)^{2}

$x^2 + y^2 - 2\rho x y = (1 - \rho^2) x^2 + (y - \rho x)^2$

(1 - ρ^{2}) x^{2}

$(1 - \rho^2) x^2$

(1 - ρ^{2})

$(1 - \rho^2)$

(y - ρ x)^{2} / (1 - ρ^{2})

$(y - \rho x)^2 / (1 - \rho^2)$

X \sim N (μ_{X}, σ_{X}^{2})

$X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$

[Y | X] \sim N (μ_{Y} + ρ_{X} \frac{σ_{Y}}{σ_{X}} (X - μ_{X}), σ_{Y | X}^{2} {\sqrt{1 - ρ^{2}}}^{2})

$[Y|X] \sim N(\mu_Y + \rho_X \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (X - \mu_X), \sigma^2_{Y|X} \sqrt{1 - \rho^2}^2)$

σ_{Y} / σ_{X}

$\sigma_Y/\sigma_X$

— парень

При указанных условиях ( и ) функция правдоподобия для случайной выборки размера равна $\mu_X = \mu_Y = 0$ $\sigma_X = \sigma_Y = 1$ $n$

L (ρ | X, Y) = \frac{1}{(2 π [1 - ρ^{2}])^{n / 2}} \exp [- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} (X^{'} X - 2 ρ X^{'} Y + Y^{'} Y)] .

$L(\rho\; |\; X, Y) = \frac{1}{(2\pi[1-\rho^2])^{n/2}}\exp \left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(X'X - 2\rho X'Y + Y'Y)\right].$

Теперь найдите логарифмическую вероятность и возьмите производную по . Затем установите его равным 0, решая для . Конечно, вы должны сделать какой-то соответствующий тест, чтобы показать, что вы нашли на самом деле глобальный максимум. $\rho$ $\hat{\rho}$

— Деннис
источник