Как генерировать данные о выживаемости с зависимыми от времени ковариатами, используя R

Я хочу сгенерировать время выживания из модели пропорциональных рисков Кокса, которая содержит зависящий от времени ковариат. Модель

$h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i + \alpha m_{i}(t))$

где генерируется из бинома (1,0.5) и . $X_i$ $m_{i}(t)=\beta_0 + \beta_1 X_{i} + \beta_2 X_{i} t$

Истинные значения параметров используются как $\gamma = 1.5, \beta_0 = 0, \beta_1 = -1, \beta_2 = -1.5, h_0(t) = 1$

Для не зависящего от времени ковариата (то есть я сгенерирован следующим образом $h(t|X_i) =h_0(t) \exp(\gamma X_i)$

#For time independent case
# h_0(t) = 1
gamma <- -1
u <- runif(n=100,min=0,max=1)
Xi <- rbinom(n=100,size=1,prob=0.5)
T <- -log(u)/exp(gamma*Xi)

Может ли кто-нибудь помочь мне сгенерировать данные о выживании с изменяющейся во времени ковариатой.

r survival cox-model time-varying-covariate

— шейх
источник

m_{i} (t)

$m_i(t)$

m_{i} (t)

$m_{i}(t)$

m_{i} (t)

$m_i(t)$

как вы выполнили код R из приведенного выше уравнения? означает, что в каждое время смерти в пределах одного и того же идентификатора программа должна выяснить, какие ковариаты для каждого, чей x равен 1 или 0. Если все равны 1, то cumum - опасность. после этого рассчитывают функцию выживания. позволяет ему выбрать правильную линию для каждого предмета.

— Кас Амелл

X_{i} = 1

$X_i = 1$

ОК из вашего кода R вы предполагаете экспоненциальное распределение (постоянная опасность) для вашей базовой опасности. Следовательно, ваши опасные функции:

h (t ∣ X_{i}) = {\begin{cases} \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \exp (γ + α (β_{0} + β_{1} + β_{2} t)) & if X_{i} = 1 . \end{cases}

$h\left(t \mid X_i\right) = \begin{cases} \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i = 0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 t\right)\right)} & \text{if $X_i = 1$.} \end{cases}$

$t$

\begin{aligned} Λ (t ∣ X_{i}) & = {\begin{cases} t \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \int_{0}^{t} \exp (γ + α (β_{0} + β_{1} + β_{2} τ)) d τ & if X_{i} = 1 . \end{cases} \\ = {\begin{cases} t \exp (α β_{0}) & if X_{i} = 0, \\ \exp (γ + α (β_{0} + β_{1})) \frac{1}{α β_{2}} (\exp (α β_{2} t) - 1) & if X_{i} = 1 . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \Lambda\left(t\mid X_i\right) &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \int_0^t{\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1+\beta_2 \tau\right)\right)} \,d\tau} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \\ &= \begin{cases} t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right) & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$

Затем они дают нам функции выживания:

\begin{aligned} S (t) & = \exp (- Λ (t)) \\ = {\begin{cases} \exp (- t \exp (α β_{0})) & if X_{i} = 0, \\ \exp (- \exp (γ + α (β_{0} + β_{1})) \frac{1}{α β_{2}} (\exp (α β_{2} t) - 1)) & if X_{i} = 1 . \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} S\left(t\right) &= \exp{\left(-\Lambda\left(t\right)\right)} \\ &= \begin{cases} \exp{\left(-t \exp{\left(\alpha \beta_0\right)}\right)} & \text{if $X_i=0$,} \\ \exp{\left(-\exp{\left(\gamma + \alpha\left(\beta_0+\beta_1\right)\right)} \frac{1}{\alpha\beta_2} \left(\exp\left(\alpha\beta_2 t\right)-1\right)\right)} & \text{if $X_i=1$.} \end{cases} \end{align}$

$X_i$ $U\sim\mathrm{Uniform\left(0,1\right)}$ $U$ $S\left(t\right)$ $X_i$ $t$

— Тристан
источник

Большое спасибо за алгебру. Я напишу код на R и свяжусь с вами для дальнейшей помощи.

— Шейх

какой прекрасный ответ, @tristan. У меня был похожий вопрос и я нашел твой ответ. Просто потрясающе.

— Сэм

@ tristan Меня немного смущает значение альфа в первом уравнении, которое вы даете, где Xi = 0. Не могли бы вы немного рассказать об этом? Спасибо.

— Statwonk

@ Statwonk это следует из уравнения степени опасности, предоставленного оригинальным постером

— Тристаном

Извините, но я не уверен, как использовать функцию S (t) для моделирования времени. Я думаю, что вы должны вычислить S ^ {- 1}, и эта функция не тривиальна для случая X_i = 1.

— Pmc