Вывод двумерного распределения Пуассона

Недавно я столкнулся с двумерным распределением Пуассона, но меня немного смущает, как его можно получить.

Распределение дается:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Из того, что я могу извлечь, термин $\theta_{0}$ является мерой корреляции между $X$ и $Y$ ; следовательно, когда $X$ и $Y$ независимы, $\theta_{0} = 0$ и распределение просто становится произведением двух одномерных распределений Пуассона.

Имея это в виду, моя путаница основывается на термине суммирования - Я предполагаю , что этот термин объясняет корреляцию между $X$ и $Y$ .

Мне кажется, что слагаемое представляет собой своего рода произведение биномиальных кумулятивных функций распределения, где вероятность "успеха" определяется как $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ и вероятность "отказа" определяется как $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ , потому что $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$, но я мог бы быть далеко с этим.

Может ли кто-нибудь оказать некоторую помощь в получении этого распределения? Кроме того, если бы в любой ответ можно было включить, как эту модель можно распространить на многовариантный сценарий (скажем, три или более случайных переменных), это было бы здорово!

(Наконец, я отметил, что подобный вопрос был опубликован ранее ( Понимание двумерного распределения Пуассона ), но деривация фактически не исследовалась.)

В слайд-презентации Карлис и Нтуфрас определяют двумерный Пуассон как распределение где независимо имеют распределения Пуассона . Напомним, что наличие такого средства распределения$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

для$k=0, 1, 2, \ldots.$

Событие является непересекающимся объединением событий$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

для всех которые делают все три компонента неотрицательными целыми числами, из которых мы можем вывести, что . Поскольку независимы, их вероятности умножаются, откуда$i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Это формула; мы сделали. Но чтобы увидеть, что оно эквивалентно формуле в вопросе, используйте определение распределения Пуассона, чтобы записать эти вероятности в терминах параметров и (предполагая, что ни один из равен нулю), переработать его алгебраически выглядеть максимально похожим на произведение :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Если вы действительно хотите - это несколько наводит на мысль - вы можете повторно выразить термины в сумме, используя биномиальные коэффициенты И , уступающий$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

точно как в вопросе.

---

Обобщение для многомерных сценариев может осуществляться несколькими способами, в зависимости от необходимой гибкости. Самым простым было бы рассмотреть распределение

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

для независимых распределенных по Пуассону переменных . Для большей гибкости могут быть введены дополнительные переменные. Например, используйте независимые переменные Пуассона и рассмотрите многомерное распределение ,$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Вот способ вывести двумерное распределение Пуассона.

Пусть - независимые пуассоновские случайные величины с параметрами . Затем мы определяем . Переменная , общая для обоих и , вызывает корреляцию пары . Тогда мы должны вычислить вероятности массовых функций:$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
Надеюсь, это поможет!