Как изначально были задуманы окна?

Я знаю об общих типах окон (Хэмминга, Хеннинга, Кайзера, Тьюки и т. Д.). Однако, хотя многие книги описывают их - почти ни одна не говорит мне, как именно они были получены.

Что такого святого в окне Хэмминга? Что насчет Хэннинга? Я понимаю, что все они играют на соотношении ширины основной доли к ослаблению боковой доли, но как именно они были получены?

Мотивация для моего вопроса заключается в том, что я пытаюсь выяснить, можно ли разработать собственные окна, которые также воспроизводят ширину основного лепестка и энергию боковых лепестков.

Это только частичный ответ, но в Интернете есть лекция, где Хэмминг рассказывает о том, как он придумал свое одноименное окно. Начиная примерно с 15:15, вы получите полный контекст.

С достаточно занимательной историей он приписывает Джону Тьюки изобретательскую теорию окон (для спектрального анализа). Тем не менее, он представляет весь предмет в контексте использования сигма-факторов Ланцоша для уменьшения феномена Гиббса . Кроме того, в книге «Искусство делать науку и инженерию» (основанной на тех же лекциях) он описывает, как его окно представляет собой вариант окна Ганна , которое, как он утверждает, использовалось фон Ханом в экономике (задолго до его применения в обработке сигналов). ). Это говорит о том, что история уходит гораздо дальше, в зависимости от того, как вы хотите ее определить.

Книга, в которой Тьюки впервые назвал окно Хэмминга, называется «Измерение энергетических спектров с точки зрения инженерии связи» . Учитывая утверждение Хэмминга о том, что Тьюки изобрел теорию окон, было бы неплохо начать с более глубокого понимания того, как создавать новые. Я думаю, что книга - это просто переиздание части I и части II его статьи в Техническом журнале Bell System, поэтому она доступна онлайн.

Вот еще один частичный ответ, в основном о разработке пользовательских окон. Я придумал это, когда делал что-то, что (как я знаю сейчас, но не знал) называется «оконным управлением в частотной области». Затем, после прочтения некоторых оригинальных работ по работе с окнами, я подумал, что, возможно, именно так были задуманы некоторые окна, но у меня нет никаких реальных знаний.

Начните с прямоугольного окна и посмотрите на его преобразование Фурье, функцию sinc:

Теперь, масштабируйте и (по частоте) сдвигайте два из них, так что боковые лепестки имеют тенденцию компенсировать друг друга при сложении вместе:

(Результат зеленого цвета; извините за плохое качество и бесполезную легенду.)

Как вы можете видеть, боковые доли не только уменьшены в целом, они также скатываются намного быстрее.

$\cos(\pi t)$

Повторите этот процесс, и вы получите все лучшее и лучшее снижение за счет более широкой основной доли:

$(\cos(\pi t))^2$$n$$(\cos(\pi t))^n$$n=4$$n$

Среди окон Blackman-Harris они дают самый быстрый боковой спад. (Я начал записывать доказательство этого, но даже не закончил его, потому что, как рассчитать спад и другие параметры, как известно специалистам.)

Если вы хотите оптимизировать что-то еще, кроме свертывания, вы можете начать с окна, которое имеет достаточный спад, затем сделать что-то похожее на описанное выше, но масштабировать и сдвигать другим способом (обычно используя три члена вместо двух). , Это сохранит спад точно такой же, но позволит вам уменьшить, например, первые боковые лепестки.

Надеюсь это поможет. Веселиться.

Большинство известных окон были спроектированы более или менее произвольно, основываясь на некотором представлении о плавности во временной области. Насколько я знаю, есть два окна, которые являются в некотором смысле оптимальными: окно Чебышева, которое минимизирует максимальный уровень боковых лепестков (не энергии!), И окно вытянутого сфероида, которое максимизирует энергетическое соотношение между основным лепестком и боковыми лепестками. Есть интересная статья о дизайне окон в частотной области. В нем обсуждается алгоритм, который минимизирует энергию боковых лепестков с учетом ограничений на максимальный уровень боковых лепестков, то есть он представляет собой смесь Чебышева с пролонто-сфероидальным окном. Это статья: Новое оптимальное окно Дж. В. Адамса.