Как вывести стационарный фильтр-предиктор Калмана?

В своей главе, посвященной фильтрам Калмана, моя книга о DSP утверждает, казалось бы, совершенно неожиданно, что стационарный фильтр Калмана для системы

{\begin{cases} Икс (T + 1) & знак равно A Икс (T) + вес (T) \\ Y (T) & знак равно С Икс (T) + v (T) \end{cases}

$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$

имеет предиктор

\hat{Икс} (T + 1 | T) знак равно (A - A \bar{К} С) \hat{Икс} (T | T - 1) + A \bar{К} Y (T)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$

и стационарная векторная ковариация и усиление Калмана

\bar{п} знак равно A \bar{п} A^{T} - A \bar{п} С^{T} (С \bar{п} С^{T} + р)^{- 1} С \bar{п} A^{T} + Q

$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$

\bar{К} знак равно \bar{п} С^{T} (С \bar{п} С^{T} + р)^{- 1}

$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$

где и обозначают ковариации входного шума и шума измерения соответственно. $Q$ $R$ $w$ $v$

Я не вижу, как прийти к этому из предиктора минимальной дисперсии. Может ли кто-нибудь объяснить это мне или указать мне на ресурс, который выводит выражение? Это вариант минимально-дисперсионного фильтра во времени, который я могу вывести:

\hat{Икс} (T + 1 | T) знак равно (A - К (T) С) \hat{Икс} (T | T - 1) + К (T) Y (T)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$

п (T + 1 | T) знак равно A (п (T | T - 1) - п (T | T - 1) С^{T} (С п (T | T - 1) С^{T} + р)^{- 1} С п (T | T - 1)) A^{T} + Q

$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$

К (T) знак равно A п (T | T - 1) С^{T} (С п (T | T - 1) С^{T} + р)^{- 1}

$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$

Я просто не уверен, как перейти отсюда к стационарному фильтру выше.

Обновление: я вижу, что замена и в фильтр с изменением времени приводит к стационарный фильтр, но зачем умножать на ? Является ли это просто признаком неудачного выбора нотации, означающего, что или самом деле не означают усиление Калмана? $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$ $K(t)=A\bar{K}$ $A$ $K$ $\bar{K}$

kalman-filters

— Andreas
источник

Нет, невозможно «увидеть» предиктор из уравнений для системы. Я думаю, что было бы лучше, если бы вы прочитали учебник по фильтрам Калмана вместо того, чтобы просить нас вывести его для вас (что было бы просто отрыгиванием чего-то из учебника). Оптимальная фильтрация Андерсона и Мура может быть хорошим началом. Это выведено в главе 5, если я правильно помню.

— Лорем Ипсум

@yoda: Спасибо. У меня был вопрос, может ли кто-нибудь указать мне лучший ресурс, чем учебник, который рекомендует мой курс, так что это ответ.

— Андреас

@yoda: Кстати, в случае, если мне было неясно: я не прошу вывод из системы пространства состояний, а из фильтра Калмана с минимальной дисперсией. Я обновил вопрос, чтобы было понятнее, что я могу получить не зависящий от времени фильтр Калмана, но не стационарный.

— Андреас

От какого текста вы получаете вышеуказанное? Если кто-то имеет к нему доступ, это может быть полезно, чтобы мы могли видеть полный контекст.

— Джейсон Р

Ваши выводы верны.

$\bar P = P(t|t-1)$ $K(t) = A \bar K$

Это твоя путаница

$t|t-1$
Как это может быть «стационарным», если ваш вывод показывает, что время меняется?

Плохой выбор нотации на этой книгу части

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$ $\bar P$

Непонимание слова «стационарный».

$P$ $K$ $\bar P$ $\bar K$

Предыдущие ценности самих себя
$A$ $C$ $A$ $C$
$Q$ $R$

$K$ $P$ $y$

Вывод:

Полученные вами «временные» уравнения были эквивалентны приведенным в книге. Кроме нотационных различий, с вашей стороны было небольшое недопонимание относительно того, что меняется, а что нет.

— ssk08
источник

Я не помню, какая у меня была проблема, когда я задавал вопрос, но теперь это имеет смысл. Благодарность!

— Андреас

Я не совсем понимаю это. Как бы выглядели уравнения для нестационарного фильтра Калмана?

— Санду Урсу