Почему преобразование Фурье так важно?

129

Каждый обсуждает преобразование Фурье при обсуждении обработки сигналов. Почему так важно обрабатывать сигнал и что он говорит нам о сигнале?

Это относится только к цифровой обработке сигналов или же к аналоговым сигналам?

fourier-transform

— jcolebrand
источник

10

Недавно на math.SE возобновилась дискуссия о преобразованиях Фурье, и я подумал, что люди на этом сайте могут найти что-то стоящее и даже захотеть принять участие.

— Дилип Сарвейт,

1

ср этот ответ для некоторого превосходного исторического фона. Ряд Фурье датируется, по крайней мере, так же далеко, как эпициклическая астрономия Птолемея . Добавляя больше эксцентриков и эпициклов, подобно добавлению большего числа терминов в ряд Фурье, можно объяснить любое непрерывное движение объекта в небе.

— Геремия,

144

Это довольно широкий вопрос, и действительно довольно трудно точно определить, почему именно преобразования Фурье важны для обработки сигналов. Самый простой ответ, который можно дать, - это чрезвычайно мощный математический инструмент, который позволяет вам просматривать ваши сигналы в другой области, внутри которой несколько сложных проблем становятся очень простыми для анализа.

Его повсеместное распространение практически во всех областях инженерных и физических наук, причем по разным причинам, еще более затрудняет поиск причины. Я надеюсь, что рассмотрение некоторых его свойств, которые привели к его широкому распространению наряду с некоторыми практическими примерами и историей, может помочь понять его важность.

История:

Чтобы понять важность преобразования Фурье, важно немного отступить и оценить мощь ряда Фурье, предложенного Джозефом Фурье. В скорлупе орехов любая периодическая функция интегрируемая в области может быть записана как бесконечная сумма синусов и косинусов как $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

где . Эта идея о том, что функция может быть разбита на составляющие ее частоты (т. Е. На синусы и косинусы всех частот), была мощной и формирует основу преобразования Фурье. $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

Преобразование Фурье:

Преобразование Фурье можно рассматривать как расширение вышеуказанного ряда Фурье на непериодические функции. Для полноты и ясности я определю здесь преобразование Фурье. Если является непрерывным интегрируемым сигналом, то его преобразование Фурье, определяется как $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

и обратное преобразование дается

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

Важность в обработке сигналов:

Прежде всего, преобразование сигнала Фурье говорит вам, какие частоты присутствуют в вашем сигнале и в каких пропорциях .

Пример: Вы когда-нибудь замечали, что каждая из кнопок с номерами вашего телефона звучит по-разному, когда вы нажимаете во время разговора, и что она звучит одинаково для каждой модели телефона? Это потому, что каждый из них состоит из двух разных синусоид, которые могут быть использованы для уникальной идентификации кнопки. Когда вы используете свой телефон для перфорирования комбинаций для навигации по меню, другой участник узнает, какие клавиши вы нажали, выполнив преобразование Фурье для ввода и просмотрев имеющиеся частоты.

Помимо некоторых очень полезных элементарных свойств, которые делают математику простой, некоторые другие причины, по которым она имеет такое большое значение в обработке сигналов:

$\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
$\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
$x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
Для дискретных сигналов при разработке эффективных алгоритмов БПФ почти всегда быстрее реализовать операцию свертки в частотной области, чем во временной.
$Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
Будучи способными разделять сигналы на составляющие их частоты, можно легко избирательно блокировать определенные частоты, сводя на нет их вклады.

Пример: если вы фанат футбола (футбола), вы, возможно, были раздражены постоянным гулом вувузел, которые в значительной степени утопили все комментарии во время чемпионата мира 2010 года в Южной Африке. Тем не менее, vuvuzela имеет постоянную высоту звука ~ 235 Гц, что позволило вещателям легко внедрить режекторный фильтр, чтобы отключить помехи. ^[1]
Смещенный (задержанный) сигнал во временной области проявляется как изменение фазы в частотной области. Хотя это относится к категории элементарных свойств, на практике это широко используемое свойство, особенно в томографических и томографических приложениях.

Пример. Когда волна проходит через неоднородную среду, она замедляется и ускоряется в соответствии с изменениями скорости распространения волны в среде. Таким образом, наблюдая изменение фазы по сравнению с ожидаемым и измеренным, можно сделать вывод об избыточной временной задержке, которая, в свою очередь, говорит вам, насколько сильно изменилась скорость волны в среде. Это, конечно, очень упрощенное объяснение непрофессионала, но оно служит основой для томографии.
Производные сигналов (также n- ^ые производные) могут быть легко вычислены (см. 106), используя преобразования Фурье.

Цифровая обработка сигналов (DSP) и аналоговая обработка сигналов (ASP)

Теория преобразований Фурье применима независимо от того, является ли сигнал непрерывным или дискретным, если он «хорош» и абсолютно интегрируем. Так что да, ASP использует преобразования Фурье, пока сигналы удовлетворяют этому критерию. Однако, возможно, более распространенным является говорить о преобразованиях Лапласа, которые являются обобщенным преобразованием Фурье, в ASP. Преобразование Лапласа определяется как

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

Преимущество состоит в том, что не обязательно ограничиваться «хорошими сигналами», как в преобразовании Фурье, но преобразование действительно только в пределах определенной области сходимости. Он широко используется для изучения / анализа / проектирования схем LC / RC / LCR, которые, в свою очередь, используются в радио / электрогитарах, педалях вау-вау и т. Д.

Это почти все, о чем я мог думать прямо сейчас, но учтите, что никакое количество написания / объяснения не может полностью отразить истинную важность преобразований Фурье в обработке сигналов и в науке / технике

— Лорем Ипсум
источник

2

Хороший ответ, предоставив приложение реального мира, использующее FT и его свойства. +1.

— goldenmean

3

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

6

Когда я начал читать этот ответ, каким-то образом я знал, что @yoda написал его, прежде чем прокрутить вниз, чтобы узнать, кто это на самом деле =)

— Фонон

2

Подробно рассмотрим # 3: Свертка - это то, что вы делаете, когда применяете фильтр к изображению, такой как средний фильтр или фильтр Гаусса (хотя вы не можете использовать нелинейные фильтры с преобразованием Фурье).

— Джонас

1

Точка зрения Питера К. действительно важна. Сигналы могут быть представлены относительно многих различных оснований. Синусы и косинусы являются особыми, потому что они являются собственными функциями систем LTI.

— nibot

53

Великолепный ответ Лорема Ипсума пропускает одну вещь: преобразование Фурье разлагает сигналы на составляющие сложные экспоненты:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

и сложные экспоненты являются собственными функциями для линейных, инвариантных по времени систем .

$H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

Таким образом, преобразование Фурье является полезным инструментом для анализа линейных, не зависящих от времени систем.

— Питер К.
источник

@Peter K. Я думаю, что, следуя философии выбора (академической) правильности, а не «популярности» ответа, ваш ответ должен быть интегрирован в приведенный выше ответ, предоставленный Lorem Ipsum, который, несмотря на то, что был выбран в качестве ответа с 96 точки зрения пользователей, не хватает этой очень важной точки зрения.

— Fat32

@Peter Извините, что беспокою вас этим запросом, но вы 1) модератор, 2) ваше имя появилось в списке пользователей, "активных" с вашим тегом формирования луча. Можете ли вы дать быстрое мнение, будет ли этот пост в Math.SE хорошо принят здесь? Я не уверен, имеет ли DSP.SE, Math.SE или EE.SE наилучшие шансы помочь этому спрашивающему. Я рассматриваю миграцию (что я могу сделать модератором Math.SE).

— Юрки Лахтонен

@ Питер К., Не могли бы вы снова открыть вопрос по адресу: dsp.stackexchange.com/questions/37468 . Я починил это. Благодарю вас.

— Рой

@ Ройи, это уже открыто?

— Питер К.

Питер (Почему некоторые люди могут получить доступ, @а некоторые нет? Где вариант для этого?) Кажется, кто-то открыл его. Благодарю вас.

— Рой

16

Другой причиной:

Это быстро (например, полезно для свертки), из-за его линейной сложности времени (особенно, из БПФ ).
Я бы сказал, что если бы это было не так, мы, вероятно, сделали бы намного больше во временной области и намного меньше в области Фурье.

Изменить: так как люди попросили меня написать, почему БПФ быстро ...

Это потому, что он ловко избегает дополнительной работы.

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

Тем не менее, мы можем сделать, казалось бы, обыденное наблюдение: чтобы умножить два полинома, нам не нужно ЗАКЛЮЧИТЬ коэффициенты . Вместо этого мы можем просто оценить полиномы в (достаточном) количестве точек, сделать точечное умножение оцененных значений, а затем интерполировать, чтобы получить результат.

$n$ $2n$ $\approx n^2$

Но это так, если мы делаем это правильно! Оценка одного многочлена во многих точках одновременно быстрее, чем оценка его в этих точках индивидуально, если мы оцениваем в «правильных» точках . Какие «правильные» очки?

$z$ $z^n = 1$

Мы можем сделать очень похожий процесс для интерполяции через точки, чтобы получить полиномиальные коэффициенты результата, просто используя обратные корни единицы.

$n \log n$ $n^2$

Таким образом, возможность использовать БПФ для выполнения типичной операции (например, полиномиального умножения) намного быстрее - вот что делает его полезным, и именно поэтому люди теперь взволнованы новым открытием MIT алгоритма Sparse FFT .

— Mehrdad
источник

Что такое линейная сложность времени? Я не буду downvote этот ответ , но я не думаю , что это добавляет что -то ценное для этой дискуссии о Фурье - преобразований .

— Дилип Сарвэйт

1

@DilipSarwate Я подозреваю, что он использует это как сокращение для O (n * log (n)).

— Джим Клэй

@DilipSarwate: Джим прав. Он имеет все , что связанно с (дискретными) преобразованиями Фурье. Без БПФ ваши преобразования Фурье заняли бы время, пропорциональное квадрату входного размера, что сделало бы их гораздо менее полезными. Но с БПФ они требуют времени, пропорционального размеру ввода (умноженному на его логарифм), что делает их гораздо более полезными и ускоряет множество вычислений. Также это может быть интересным чтением.

— Мердад

Вы должны упомянуть, почему это быстро. Где это быстро и почему нас волнует, что это быстро?

— CyberMen

1

Я думаю, что этот ответ является законным. Следует перефразировать: «Помимо всех хороших характеристик, объясненных в ответах других людей, FFT позволяет ему стать реальным подходом в приложениях реального времени».

— Андрей Рубштейн

15

$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

РЕДАКТИРОВАТЬ: На самом деле, дифференциальные (и интегральные) операторы являются операторами LSIV, см. Здесь .

— chaohuang
источник

8

Некоторые из других ответов в этой теме имеют превосходные математические обсуждения определения и свойств преобразования Фурье; как аудиопрограммист, я просто хочу представить свою личную интуицию о том, почему это важно для меня.

Преобразование Фурье позволяет мне отвечать на вопросы о звуке, на которые трудно или невозможно ответить другими методами. Это облегчает трудные проблемы.

Запись содержит набор из трех музыкальных нот. Какие заметки? Если вы оставляете запись как набор амплитуд с течением времени, это не простая проблема. Если вы конвертируете запись в набор частот с течением времени, это действительно легко.

Я хочу изменить высоту записи без изменения ее продолжительности. Как мне это сделать? Это возможно, но не легко сделать, просто манипулируя амплитудой входного сигнала. Но это легко, если вы знаете частоты, которые составляют сигнал.

Эта запись содержит речь или музыку? Супер сложно сделать, используя только амплитудные методы. Но есть хорошие решения, которые предполагают правильный ответ почти все время на основе преобразования Фурье и его семейства.

Почти каждый вопрос, который вы хотели бы задать о цифровой аудиозаписи, упрощается путем преобразования записи с использованием дискретной версии преобразования Фурье.

На практике каждое современное цифровое аудиоустройство в значительной степени опирается на функции, очень похожие на преобразование Фурье.

Опять же, простите за весьма неформальное описание; это всего лишь моя личная интуиция о том, почему преобразование Фурье важно.

— johnwbyrd
источник

Привет, Джон, у меня глупый вопрос. Я хочу рассчитать TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) из звука, который мы записали на рабочем месте, мне интересно, смогу ли я измерить это значение более точно, если я использую преобразование Фурье при анализе моего аудиофайла.

— Хоссейн Саршар

Нет, если микрофон и среда записи не были откалиброваны, нет.

— johnwbyrd

6

Другие люди дали отличные, полезные ответы. Просто подумайте о каком-то сигнале: вас волнует только то, какие частоты в нем (и их фаза), а не временная область. Я не знаю, что это окончательный или полный ответ, но просто еще одна причина, по которой полезно преобразование Фурье.

Когда у вас есть какой-то сигнал, он может состоять из бесконечного (или близкого к) количества частот, в зависимости от вашей частоты дискретизации. Но это не так: мы знаем, что большинство сигналов имеют наименьшее число возможных частот, или что мы производим дискретизацию с достаточно высокой частотой.

Если мы знаем это, почему мы не можем использовать это? Это то, что делает область сжатого восприятия. Они знают, что наиболее вероятный сигнал - это сигнал с наименьшей ошибкой и наименьшим количеством частот. Таким образом, они сводят к минимуму общую ошибку относительно наших измерений, а также величину преобразования Фурье.

Сигнал нескольких частот часто имеет минимальное преобразование Фурье, или в основном нули (иначе говоря, «разреженный», как говорят в сжатых измерениях). Например, сигнал одной частоты имеет дельта-функцию в качестве преобразования.

Мы также можем использовать формальное математическое определение.

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

Вы можете вспомнить, что Найквист сказал, что вы должны измерять в два раза большую частоту, чтобы получить хорошее представление. Ну, это предполагало, что у вас были бесконечные частоты в вашем сигнале. Мы можем пройти это!

Поле сжатого восприятия может реконструировать любой сигнал, который в большинстве случаев является нулем (или разреженным) в некоторой области. Ну, это так для преобразования Фурье.

— Скотт
источник

5

Основное значение преобразования Фурье заключается в системном анализе. Основной составляющей нашей вселенной является вакуум, а вакуум является принципиально линейным и не зависящим от времени носителем полей: различные поля накладываются путем добавления их соответствующих векторов, и независимо от того, когда вы повторяете применение определенных полей, результат будет одинаковым ,

Как следствие, многие системы, включающие также физическую материю, находятся в хорошем приближении и ведут себя как линейные, не зависящие от времени системы.

Такие системы LTI могут быть описаны их «импульсным откликом», а отклик на любой распределенный по времени сигнал описывается свертыванием сигнала с импульсным откликом.

Свертка - это коммутативная и ассоциативная операция, но она также довольно вычислительно и концептуально дорогая. Однако свертка функций отображается с помощью преобразования Фурье в кусочное умножение.

Это означает, что свойства линейных инвариантных по времени систем и их комбинаций гораздо лучше описываются и обрабатываются после преобразования Фурье.

В результате такие вещи, как «частотная характеристика», весьма характерны для описания поведения многих систем и становятся полезными для их характеристики.

Быстрые преобразования Фурье относятся к классу «почти, но не совсем, в отличие от преобразований Фурье», поскольку их результаты не очень разумно интерпретируются как преобразования Фурье, хотя и твердо направлены в их теорию. Они соответствуют преобразованиям Фурье полностью только при разговоре о дискретизированном сигнале с периодичностью интервала преобразования. В частности, критерий «периодичности» почти всегда не соблюдается.

Есть несколько методов для решения этой проблемы, например, использование перекрывающихся оконных функций.

Однако БПФ можно использовать для выполнения свертки в дискретном времени, когда все делается правильно, и это эффективный алгоритм, который делает его полезным для многих вещей.

Можно использовать базовый алгоритм БПФ также для теоретико-числовых преобразований (которые работают в дискретных числовых полях, а не в сложных «вещественных числах») для быстрой свертки, например, при умножении огромных чисел или полиномов. В этом случае «частотная область» неотличима от белого шума практически для любого входа и не имеет никакой полезной интерпретации перед повторным обратным преобразованием.

— Дэвид
источник

2

физическая значимость преобразования Фурье заключается в том, что он сообщает относительную амплитуду частот, присутствующих в сигнале. он может быть определен как для дискретного времени, так и для непрерывного сигнала времени. Любой сигнал может быть представлен в виде смеси многих гармонических частот. Помощь преобразования Фурье в применениях фильтров, где нам нужен только определенный диапазон частот, а затем нам нужно сначала узнать, какие амплитуды частот содержатся в сигнале.

— Ватсьяян
источник