Какое наиболее понятное и интуитивно понятное объяснение для различных FT - CFT, DFT, DTFT и рядов Фурье?

Даже после того, как я довольно долго изучал их, я склонен забывать [если я на какое-то время не общаюсь], как они связаны друг с другом и что каждый обозначает [так как у них такие похожие звучащие имена]. Я надеюсь, что вы получите такое интуитивное и математически красивое объяснение, что они навсегда останутся в моей памяти, и эта тема будет служить очень быстрым обновлением всякий раз, когда мне [или кому-то еще] это понадобится.

Я написал этот раздаточный материал как дополнение к Оппенгейму и Вилльскому . Пожалуйста, посмотрите на Таблицу 4.1 на странице 14, воспроизведенную ниже. (Нажмите, чтобы увеличить изображение.) Я написал эту таблицу специально, чтобы ответить на такие вопросы, как ваш.

Обратите внимание на сходства и различия между четырьмя операциями:

1. «Серия»: периодическая по времени, дискретная по частоте
2. «Преобразование»: апериодическое по времени, непрерывное по частоте
3. «Непрерывное время»: непрерывное по времени, апериодическое по частоте
4. «Дискретное время»: дискретное по времени, периодическое по частоте

Я надеюсь, что вы найдете эти заметки полезными! Пожалуйста, не стесняйтесь распространять, как вы хотите.

Чтобы получить ясное и правильное объяснение этих понятий, вы должны были бы пройти некоторые стандартные учебники (Оппенгейм-Шафер, Проакис-Манолакис или «Понимание цифровой обработки сигналов» Ричарда Лайонса, которая является очень хорошей, но относительно менее популярной книгой) , Но, предполагая обсуждение за журнальным столиком, я сделаю несколько крайне бесполезных заявлений в дальнейшем. :)

Для общего непрерывного сигнала времени вы не ожидаете, что какая-то конкретная частота будет отсутствовать, поэтому ее преобразование Фурье (или непрерывное преобразование Фурье) будет непрерывной кривой с поддержкой, возможно, от -inf до + inf.

Для периодического непрерывного сигнала (период T) Фурье выражал сигнал как комбинацию синусов и косинусов, имеющих одинаковый период (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...). Фактически спектр этого сигнала представляет собой серию пиков в точках 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Это называется представлением ряда Фурье. Существует теорема, которая гласит, что представление ряда Фурье любого периодического непрерывного сигнала времени сходится к сигналу, когда вы включаете все больше и больше синусов и косинусов (или комплексных экспонент) в среднеквадратичном смысле.

Мораль пока что: периодичность во времени => колючий спектр

На дискретное время ... Что произойдет, если вы сэмплируете непрерывный сигнал времени? Должно быть ясно, что для достаточно высокого сигнала вы не сможете восстановить сигнал. Если вы не делаете предположений о частотах в сигнале, то, учитывая дискретизированный сигнал, вы не сможете сказать, что такое истинный сигнал. Другими словами, разные частоты представлены эквивалентно в сигнале с дискретным временем. Пройдя по математике, вы узнаете, что вы можете получить спектр дискретизированного сигнала из исходного непрерывного сигнала. Как? Вы сдвигаете спектр непрерывного сигнала времени на величины + -1 / T, + -2 / T, ... и добавляете все смещенные копии (с некоторым масштабированием). Это дает вам непрерывный спектр, который является периодическим с периодом 1 / T. (примечание: спектр является периодическим в результате выборки во времени, сигнал времени не должно быть периодическим) Поскольку спектр непрерывен, вы можете также представить его только одним из его периодов. Это DTFT (преобразование Фурье "с дискретным временем"). В случае, когда ваш исходный сигнал непрерывного времени имеет частоты не выше + -1 / 2T, сдвинутые копии спектра не перекрываются и, следовательно, вы можете восстановить исходный сигнал непрерывного времени, выбрав один период спектра ( теорема выборки Найквиста).

Еще один способ запомнить: остроконечный временной сигнал => периодичность в спектре

Что произойдет, если вы дискретизируете периодический сигнал непрерывного времени с периодом выборки T / k для некоторого k? Итак, спектр сигнала непрерывного времени был остроконечным, и выборка его некоторым делителем T означает, что пики в сдвинутых копиях падают точно на кратные 1 / T, поэтому результирующий спектр представляет собой остроконечный периодический спектр , остроконечный периодический сигнал времени <=> колючий периодический спектр (при условии, что период и частота дискретизации «хорошо связаны», как описано выше). Это то, что известно как ДПФ (дискретное преобразование Фурье). БПФ (быстрое преобразование Фурье) - это класс алгоритмов для эффективного вычисления ДПФ.

Способ вызова DFT заключается в следующем: скажем, вы хотите проанализировать последовательность из N выборок во времени. Вы можете использовать DTFT и иметь дело с одним из его периодов, но если вы предполагаете, что ваш сигнал является периодическим с периодом N, тогда DTFT уменьшается до DFT, и у вас есть только N выборок одного периода DTFT, которые полностью характеризуют сигнал. Вы можете заполнить сигнал нулями во времени, чтобы получить более точную выборку спектра и (еще много таких свойств).

Все вышеперечисленное полезно только в том случае, если сопровождается изучением DSP. Выше приведены лишь некоторые очень грубые рекомендации.

Обозначим через ограниченную функцию с периодом , то есть для всех действительных чисел , . В качестве конкретного примера, является такой функцией. Мы хотим найти «наилучшее» приближение для этой функции, где мы хотим выбрать коэффициент так, чтобы квадрат ошибки настолько мал , насколько это возможно. Расширяя подынтегральное выражение, мы имеем $x(t)$$T$$t$$x(t+T) = x(t)$$\cos(2\pi t/T)$$a_n\cos(2\pi nt/T)$$a_n$

$$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$$ $$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ Крайний левый интеграл - это энергия доставляемая одним периодом то время как крайний правый интеграл имеет значение и поэтому мы видим, что В настоящее время. для квадратичная функция имеет минимум при (на полпути между корнями ! !) и так, поскольку мы выразили квадратичную ошибку как квадратичную функцию от , выбор который минимизирует квадратичную ошибку, равен $E$$x(t)$$T/2$ $$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$$ $a > 0$$az^2 + bz + c$$z = -b/2a$$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$$a_n$$a_n$ $$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ Точно так же, выбрав как минимизирует квадратичную ошибку между и . Таким образом, мы видим, что ряд Фурье является ничем иным, как дешевым приемом для нахождения аппроксимации минимальной квадратной ошибки периодической функции в терминах синусоидальных и косинусоидальных сигналов того же периода и их гармоник.$b_n$ $$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$$ $x(t)$$b_n\sin(2\pi nt/T)$$x(t)$

Эндолит прав в том, что если вы действительно начнете с ряда Фурье и увидите, как он распространяется на преобразование Фурье, то все начинает приобретать большой смысл. Я даю краткое объяснение этому в первой половине этого ответа .

Хороший (возможно, не простой) способ взглянуть на семейство преобразований Фурье (под которым я имею в виду 4, которые вы перечислили выше), - это очки двойственности Понтрягина . Это дает вам хороший способ запомнить различные преобразования исходной и преобразованной областей.

Для комплексной функции в (при условии, что существуют другие необходимые условия существования FT), ее преобразование Фурье также является комплексной функцией в . Пространство является самодвойственным Понтрягину, и вы можете сказать, что если преобразование во всем семействе имеет как исходную, так и преобразованную область, то это преобразование Фурье (или CFT, как ты назвал это).$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

Комплексная последовательность из чисел может рассматриваться как периодическая комплексная функция в , которая является целочисленной циклической группой по модулю (дополнительную информацию см. В конечных абелевых группах ). Преобразование для этой последовательности также имеет область (self-dual), и это дискретное преобразование Фурье.$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Область единичного круга (все комплексные числа с абсолютным значением 1; см. Также группу кругов ) и набор целых чисел являются двойственными числами Понтрягина. Подобно первым двум, преобразование между в существует и является тем, что мы называем дискретным преобразованием Фурье, а наоборот - рядом Фурье , с которого все и началось.$\mathbb{T}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{T}$

Этот ответ не полностью завершен, и я, возможно, воспользуюсь этим ответом, чтобы прояснить несколько моментов, когда у меня будет время, но до тех пор это может быть чем-то, что нужно пережевать, пока вы не получите более интуитивное объяснение от кого-то другого. Также попробуйте прочитать варианты анализа Фурье в Википедии.

Я думаю, что главное - это фундаментально понять, зачем нам нужны преобразования Фурье. Они являются одним из многих возможных преобразований сигнала, но также и одним из самых полезных. Преобразование в основном преобразует сигнал в другой домен, что может дать нам представление о сигнале в этом домене или, возможно, математически легко работать с доменом. Как только мы закончим работать в этой области, мы можем выполнить обратное преобразование, чтобы легче достичь желаемого результата.

Самым основным строительным блоком в теории Фурье являются монотоны (синусы и косинусы). Мы можем разложить сигнал на его частотные составляющие (монотоны) с помощью математики Фурье. Таким образом, преобразование Фурье в основном преобразует сигнал из временной области в частотную область. Коэффициент каждого из монотонов в ряду Фурье говорит нам о силе этого частотного компонента в сигнале. Преобразование Фурье (CFT, DFT) явно дает нам представление о частотной области сигнала. В природе синусы и косинусы являются выдающимися формами волн. Синтетические сигналы, такие как прямоугольные волны или сигналы, имеющие резкие колебания, с меньшей вероятностью будут возникать естественным путем и неудивительно, что они составляют бесконечный диапазон частот, что очень четко объясняется преобразованиями Фурье. Люди сомневались, можно ли записать какой-либо сигнал в виде суммы синусов / косинусов. Фурье показал прямоугольную форму волны (которая далеко от синусов / косинусов) действительно может быть. Белый шум содержит все частоты с одинаковой силой.

Кроме того, если вы работаете с рядами Фурье, то коэффициенты вместе с фазовым членом могут рассматриваться как необходимые для правильного наложения составляющих синусоидальных сигналов, так что суперпозиция действительно является требуемым сигналом, который вы принимаете преобразование. При работе с преобразованиями Фурье комплексные числа неявно имеют фазовые члены и требуемую величину каждого из монотонов. (интеграция примерно как суммирование. непрерывное => интегрирование, дискретное => суммирование)

Я думаю, что как только вы поймете тему концепции, все остальное - это просто детали, которые вы сами должны будете понимать, читая книги. Чтение о применении преобразований Фурье к различным областям даст вам лучшее восприятие.

ДПФ - это преобразование вектора пар чисел из одного ортогонального пространства в другое. Очень часто делается в виде численного расчета. По какой-то причине, беря одну группу чисел из реального мира, вторая группа чисел часто оказывается достаточно близкой к чему-то весьма полезному.

Мне напомнили о Неоправданной Эффективности Математики в Естествознании , особенно относительно применения DFT ко многим системам, которые, кажется, аппроксимируются различными видами дифференциальных уравнений 2-й степени, даже звуком кофейной ложки, которую я только что уронил.

Другие 3 XYZ-FT предполагают существование некоторых мифических бесконечных объектов, чтобы помочь символическим решениям поместиться на доске до того, как кофе станет слишком холодным. Это «сферические коровы» обработки сигналов. DTFT и ряды Фурье делают вид, что один вектор может быть бесконечно расширен за счет бесконечной плотности другого объекта. Ряд Фурье делает вид, что оба объекта могут быть бесконечными непрерывными функциями.

Пройдите достаточное количество курсов по математике, и можно даже определить все определения и предположения, необходимые для того, чтобы эти вымышленные сущности были в некотором смысле точными и полными дуалами.