Выбор соглашения и обозначения для преобразования Фурье?

Определения преобразования Фурье и обратного преобразования Фурье, которые я изучил в колледже, были

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Существенные характеристики этого соглашения

Неунитарное преобразование; Единицы частотной области - радианы (переменная ) $\omega$
Единицы «временной области» находятся во времени (переменная ) $t$
Функциональные преобразования обозначаются заглавными буквами ( против ) $F$ $f$
в строго обозначает , что функция является преобразованием Фурье $j$ $F(j\omega)$
И, конечно же, обычное соглашение EE, что . $j=\sqrt{-1}$

В настоящее время я использую совершенно другое соглашение, по сути то, что используется в википедии :

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$ Характеристики этого соглашения

Унитарное преобразование; Единицы частотной области - нормализованная частота (переменная ) $\xi$
Единицы «временной области» не имеют единиц измерения (переменная ) $x$
Функция преобразует износ шапки ( против ) $\hat{f}$ $f$
Переменные в греческом алфавите обозначают преобразованные переменные в латинском алфавите ( против ) $\xi$ $x$

Я очень предпочитаю это соглашение по нескольким причинам.

Использование унитарного соглашения значительно увеличивает симметрию и ясность двойственности Фурье: сравните
- $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$ ,
- $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$ в
- $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$ ,
- $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$ .
Использование вместо для переменной «временной области» делает уравнения более независимыми от проблемной области. Это значительно упрощает аналогию с концепциями обработки 2D-изображений в терминах концепций обработки 1D-сигналов без когнитивного диссонанса с использованием в качестве переменной, представляющей расстояние , или без необходимости изменения переменных при переходе от одного домена к другому. $x$ $t$ $t$
Я считаю, что заглавные буквы более полезны для обозначения дискретных переменных / функций, чем для представления преобразованных функций.
Использование шляпы более четко обозначает преобразование Фурье как оператор, который применяется к , где результирующая функция принимает параметр частотной области . Сравните это с гораздо более неуклюжим , "традиционным" способом, которым я научился в колледже, обозначать преобразование Фурье как оператор, который в то время казался мне слишком запутанным ( против против и т. Д.) $f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
Как правило, я обнаружил, что выполнение анализа обработки сигналов с помощью радианов просто усыпало больше, чем мне казалось необходимым. Использование единиц нормализованной частоты имеет для меня гораздо больше смысла, особенно при работе с проблемами, связанными с теорией выборки. $\pi$

Конечно, было бы совершенно бесполезно с моей точки зрения считать мой выбор конвенции превосходящим тот, который используют другие. Но мне трудно найти веские причины, чтобы предпочесть конвенцию, которую я изначально изучал в колледже (то есть причины, не связанные с традицией).

В настоящее время я могу придумать одну приличную причину предпочтения «традиционного» соглашения: использование неунитарного преобразования и нотации параметра значительно улучшает согласованность нотаций с преобразованием Лапласа . Кроме того, шляпы могут быть легче потерять / запутать, чем заглавные буквы. $F(j\omega)$

Кто-нибудь может придумать другие причины, чтобы отдать предпочтение «традиционной» (неунитарной) конвенции? Является ли это «традиционное» соглашение таким же, как то, что вы изучили курс обработки сигналов (если вы взяли один)? Какую конвенцию вы предпочитаете?

fourier-transform frequency

— rtollert
источник

Вопросы, требующие личного мнения , не очень конструктивны для этого сайта. Ответ заключается в том, что на самом деле не имеет значения, каково ваше соглашение, если вы правильно его определяете, используете его последовательно и во многих случаях придерживаетесь общепринятых обозначений, используемых в вашей области. Важно не изобретать новые сумасшедшие обозначения, чтобы быть намеренно тупыми. Я не уверен, насколько личные предпочтения и мнения полезны во всем этом ...

— Lorem Ipsum

Я могу понять желание избежать простого мнения, но я думаю, что есть законный вопрос о том, почему традиционные конвенции являются такими , какими они являются: маловероятно, что они определяются только как исторические происшествия. Я был бы готов переписать этот вопрос, чтобы избежать расспросов и сосредоточиться на вопросе о том, как эти решения об условных обозначениях в литературе по обработке сигналов возникли в первую очередь.

— rtollert

Вы забыли заменить все 2π на τ . : D

— эндолит

@endolith Вы победили меня в этом :)

— Datageist

Одно место, где часто используется унитарная форма, - в учебниках по связи. Инженеры связи любят Герца, поэтому преобразование в более интуитивно, чем в .

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

— Джейсон Р

Выбор конвенции должен быть наиболее подходящим (или знакомым) для аудитории, с которой вы пытаетесь общаться.

— hotpaw2
источник

Одна вещь об использовании x (t) для сигнала - это параллель между

$y = x^2$

$y(t) = x(t)^2$

где x по-прежнему является входом, а y по-прежнему является выходом, просто в этом случае они представляют собой сигналы, а не числа.

— эндолиты
источник