Как влияет задержка во временной области в частотной области?

Если у меня есть сигнал, который ограничен по времени, скажем, синусоида, которая длится только $T$ секунд, и я беру БПФ этого сигнала, я вижу частотную характеристику. В этом примере это будет шип на основной частоте синусоиды.

Теперь, скажем, я принимаю тот же самый сигнал времени и задерживаю его на некоторую постоянную времени, а затем принимаю БПФ, как все меняется? Может ли БПФ представлять эту задержку?

Я признаю, что задержка представляет собой изменение $\exp(-j\omega t)$ в частотной области, но мне трудно определить, что это на самом деле означает .

Практически говоря, является ли частотная область подходящим местом для определения временной задержки между различными сигналами?

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) , обычно осуществляется быстрое преобразование Фурье (БПФ) , отображает последовательность конечной длины дискретных отсчетов во временной области в последовательности одинаковой длины выборок в частотной области. Выборки в частотной области являются в общем комплексными числами; они представляют коэффициенты, которые можно использовать во взвешенной сумме сложных показательных функций во временной области для восстановления исходного сигнала временной области.

Эти комплексные числа представляют амплитуду и фазу , связанную с каждой экспоненциальной функцией. Таким образом, каждое число в выходной последовательности БПФ можно интерпретировать как:

Вы можете интерпретировать это следующим образом: если вы хотите восстановить x [n], сигнал, с которого вы начали, вы можете взять набор сложных экспоненциальных функций , взвесьте каждое поX[k]=Akejϕkи сложите их. Результат в точности равен (с точностью до цифры)x[n]. Это всего лишь словесное определение обратного ДПФ.$e^{\frac{j 2 \pi n k}{N}}, k = 0, 1, \ldots, N-1$$X[k] = A_k e^{j \phi_k}$$x[n]$

Итак, говоря о вашем вопросе, различные разновидности преобразования Фурье обладают тем свойством, что задержка во временной области соответствует фазовому сдвигу в частотной области. Для ДПФ это свойство:

x [ n - D ] ↔ e - j 2 π k

То есть, если вы задержите свой входной сигнал на выборок, то каждое комплексное значение в БПФ сигнала умножается на константу e - j 2 π k $D$ . Люди часто не понимают, что выходные данные DFT / FFT являются сложными значениями, потому что они часто визуализируются только как величины (или иногда как величина и фаза).$e^{\frac{-j2 \pi k D}{N}}$

Изменить: я хочу отметить, что есть некоторые тонкости этого правила для ДПФ из-за его ограниченности во времени. В частности, сдвиг в вашем сигнале должен быть круговым, чтобы отношение сохранялось; то есть, когда вы задерживаете на D выборок, вам нужно обернуть последние D выборок, которые были в конце x [ n ], в начало задержанного сигнала. Это на самом деле не будет соответствовать тому, что вы увидите в реальной ситуации, когда сигнал просто не начинается до начала апертуры DFT (и, например, ему предшествуют нули). Вы всегда можете обойти это, заполнив нулями исходный сигнал x [ $x[n]$$D$$D$$x[n]$$x[n]$$D$

галламин,

Это просто означает, что в вашем векторе БПФ будет сдвиг фазы. Когда вы БПФ ваш (реальный) сигнал, ваш ответ будет сложным, так что у вас будет реальная и мнимая часть. Если вы взяли их фазу (inverse_tangent (imag / real)), это отобразит все фазы частот. Отличие их фаз от отсутствия задержки напрямую связано с задержкой во времени.

(В Matlab вы также можете получить фазу просто "angle (fft_result)").

Кстати, если вы делаете корреляцию вашего сигнала с задержкой и без задержки и выбираете пик, вы можете получить задержку таким образом. В домене freq он вычитает все фазы вашего сигнала без задержки, из всего сигнала с задержкой и принимает среднее значение.

Рассмотрим сигнал $\sin(\omega t)$имеет частотный состав $\omega$, Задержка на 1 сек. сигнал будет таким же, так что такое же частотное содержание, но наше время t = 0 уже началось через 1 секунду, поэтому форма сигнала будет сдвигаться только на 1 секунду вправо, т.е. по фазе, а не по частоте. Как можно видеть из уравнения G (w), e ^ -jwt будет вызывать только фазовое изменение по кругу, поэтому любая задержка относительно T сигнала оригинала надеется, что это поможет. Общий электротехник Аман Глубокая Индия.