Фурье-преобразование с дискретным временем последовательности единичных шагов

Из учебников мы знаем, что DTFT от дается $u[n]$

\begin{matrix} (1) & U (ω) знак равно π δ (ω) + \frac{1}{1 - е^{- J ω}}, - π \leq ω < π \end{matrix}

$U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1}$

Тем не менее, я не видел учебник по DSP, который, по крайней мере, претендует на более или менее обоснованное выражение . $(1)$

Proakis [1] выводит правую половину правой части , устанавливая в -преобразовании , и говорит, что это верно за исключением (что, конечно, правильно). Затем он заявляет, что на полюсе -преобразования мы должны добавить дельта-импульс площадью , но для меня это больше похоже на рецепт, чем на что-либо еще. $(1)$ $z=e^{j\omega}$ $\mathcal{Z}$ $u[n]$ $\omega=2\pi k$ $\mathcal{Z}$ $\pi$

Оппенгейм и Шафер [2] упоминают в этом контексте

Хотя это не совсем просто показать, эта последовательность может быть представлена следующим преобразованием Фурье:

за которым следует формула, эквивалентная $(1)$ . К сожалению, они не потрудились показать нам это «не совсем прямое» доказательство.

Книга, которую я на самом деле не знал, но которую я нашел, когда искал доказательство $(1)$ - « Введение в цифровую обработку сигналов и проектирование фильтров» Б.А. Шеноя. На странице 138 есть «вывод» $(1)$ , но, к сожалению, это неправильно. Я задал вопрос «DSP-головоломки», чтобы люди показали, что не так с этим доказательством.]

Итак, мой вопрос :

Кто-нибудь может предоставить доказательство / вывод который является правильным или даже строгим, будучи доступным для математически склонных инженеров? Неважно, скопировано ли это из книги. Я думаю, что было бы хорошо иметь его на этом сайте в любом случае. $(1)$

Обратите внимание, что даже в math.SE почти ничего не нужно искать: у этого вопроса нет ответов, и у одного есть два ответа, один из которых неправильный (идентично аргументу Шеноя), а другой использует «свойство накопления» Я был бы счастлив, но затем нужно доказать это свойство, которое возвращает вас к началу (потому что оба доказательства в основном доказывают одно и то же).

В качестве заключительного замечания, я действительно придумал что-то вроде доказательства (ну, я инженер), и я также опубликую его как ответ через несколько дней, но я был бы рад собрать другие опубликованные или неопубликованные доказательства они просты и элегантны, и, самое главное, доступны для инженеров DSP.

PS: я не сомневаюсь в правильности $(1)$ , я просто хотел бы увидеть одно или несколько относительно простых доказательств.

[1] Проакис, Дж. Г. и Д. Г. Манолакис, Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения , 3-е издание, раздел 4.2.8.

[2] Оппенгейм, А.В. и Р.В.Шафер, Обработка сигналов с дискретным временем , 2-е издание, с. 54.

Вдохновленный комментарием Маркуса Мюллера, я хотел бы показать, что

U (ω)

$U(\omega)$ как дано уравнением.

(1)

$(1)$ удовлетворяет требованию

u [n] = u^{2} [n] \to U (ω) = \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω)

$u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)$

Если $U(\omega)$ является DTFT для $u[n]$ , то

V (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}}

$V(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}$

должен быть DTFT из

v [n] = \frac{1}{2} sign [n]

$v[n]=\frac12\text{sign}[n]$

(где мы определяем $\text{sign}[0]=1$ ), потому что

V (ω) = U (ω) - π δ (ω) ⟺ u [n] - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sign [n]

$V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n]$

Итак, мы имеем

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) ⟺ {(\frac{1}{2} sign [n])}^{2} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14$

из чего следует, что

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) = DTFT {\frac{1}{4}} = \frac{π}{2} δ (ω)

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)$

С этим мы получаем

\begin{aligned} \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω) & = \frac{1}{2 π} [(π δ (ω) + V (ω)) ⋆ (π δ (ω) + V (ω))] \\ = \frac{1}{2 π} [π^{2} δ (ω) + 2 π V (ω) + (V ⋆ V) (ω)] \\ = \frac{π}{2} δ (ω) + V (ω) + \frac{π}{2} δ (ω) \\ = U (ω) q.e.d. \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\left[(\pi\delta(\omega)+V(\omega))\star (\pi\delta(\omega)+V(\omega))\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\pi^2\delta(\omega)+2\pi V(\omega)+(V\star V)(\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+V(\omega)+\frac{\pi}{2}\delta(\omega)\\&=U(\omega)\qquad\text{q.e.d.}\end{align}$

— Мэтт Л.
источник

waaah. Не разрушай мой мир. Сомнение в этой формуле вводит царство хаоса. Например, и, следовательно, (с префиксом определения FT, зависящим от константы ),

u^{2} (t) = u (t)

$u^2(t) = u(t)$

c

$c$

\begin{aligned} DTFT (u^{2}) (ω) & = c \cdot U (ω) * U (ω) \\ = c π U (ω) + \frac{c}{1 + e^{- j ω}} * U (ω) \\ = c π (π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}) + \frac{c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ = c π^{2} δ (ω) + \frac{2 c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ \overset{magic?}{=} U \end{aligned}

$\begin{align}\text{DTFT}(u^2)(\omega) &=c\,\cdot\, U(\omega)*U(\omega) \\&=c\pi U(\omega)+ \frac{c}{1+e^{-j\omega}}*U(\omega)\\&=c\pi \left(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\right)+\frac{c\pi}{1+e^{-j\omega}}+c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&=c\pi^2\delta(\omega)+\frac{2c\pi}{1+e^{-j\omega}} + c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&\overset{\text{magic?}}=U\end{align}$

— Маркус Мюллер,

@ MarcusMüller: Нет сомнений в этой формуле, это правильно. Вопрос только в том, как показать это так, чтобы простой инженер мог понять. И работает для данного DTFT, нет проблем.

u^{2} [n] = u [n]

$u^2[n]=u[n]$

— Мэтт Л.

Я считаю себя очень простым, и это означает, что я беспокоюсь, когда вещи не чувствуют себя «в безопасности», когда я не вижу, как они происходят.

— Маркус Мюллер

Я вижу, что вы ищете не для того, чтобы доказать, является ли уравнение правильным или нет, а скорее для того, чтобы строго и непосредственно вывести из первых принципов и определения DTFT. Тогда всякий раз, когда кто-то хочет сделать строгое доказательство, связанное с импульсами, тогда я думаю, что лучше обратиться к цитируемым книгам из обобщенной теории функций: Lighthill-1958 цитируется в Opp & Schafer для обсуждения импульсной функции и ее использования в преобразованиях Фурье. Все другие доказательства неизбежно будут опираться на доказательства, сделанные по этим ссылкам, и их будет недостаточно для замены строгого доказательства.

U (w)

$U(w)$

— Fat32

@ Fat32: это правильная точка зрения. Я думаю, однако, что разумное обоснование возможно, если мы примем базовые преобразования, такие как

, и если мы согласны определить интегралы по их главному значению Коши.

DTFT {1} = 2 π δ (ω)

$\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$

— Мэтт Л.

Ответы:

Седрон Доуг опубликовал интересную начальную точку в этом ответе . Это начинается с этих шагов:

\begin{aligned} U (ω) & = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n} \\ &= \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}\\ &= \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \end{align}$

Оказывается, срок внутри лимита можно расширить следующим образом :

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} = & \frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} \cdot \\ [- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) + j (- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω))] \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } ={} &\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} \cdot \\ &\left[-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)+ \\ j(-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega))\right] \end{aligned}$

Общий фактор вне скобок может быть выражен как :

\frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} = \frac{1}{4 \sin^{2} (ω / 2)}

$\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} = \frac{1}{4\sin^2(\omega/2)}$

Действительная часть внутри скобок также равна :

- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) = 2 \sin (ω / 2) \sin [ω (- N + 1 / 2)]

$-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)= 2\sin(\omega/2)\sin[\omega(-N+1/2)]$

С другой стороны, мнимая часть может быть переписана как :

- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω) = - 2 \sin (ω / 2) \cos [ω (- N + 1 / 2)]

$-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega)=-2\sin(\omega/2)\cos[\omega(-N+1/2)]$

Переписав первоначальный термин, мы получим следующее:

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} & = \frac{2 \sin (\frac{ω}{2})}{4 \sin^{2} (\frac{ω}{2})} (\sin [ω (- N + 1 / 2)] - j \cos [ω (- N + 1 / 2)]) \\ = - \frac{\sin [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} - j \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } &=\frac{2\sin\left(\frac \omega 2\right)}{4\sin^2\left(\frac \omega 2\right) } \left( \sin[\omega(-N+1/2)] - j\cos[\omega(-N+1/2)]\right) \\ &=-\frac{\sin[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} - j\frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} \end{align}$

$M=N-1$ $M\to \infty$

Согласно 7-му определению на этом сайте :

lim_{M \to \infty} - \frac{1}{2 \sin (ω / 2)} \sin [ω (M + 1 / 2)] = - π δ (ω)

$\lim_{M\to \infty} -\frac{1}{2\sin(\omega/2)}\sin[\omega(M+1/2)] = -\pi \delta(\omega)$

Пока у нас есть это:

lim_{M \to \infty} \frac{e^{- j ω (M + 1)}}{1 - e^{- j ω}} = - π δ (ω) - j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)}

$\lim_{ M \to \infty } \frac{ e^{-j \omega (M+1)} }{ 1 - e^{-j \omega } } =-\pi\delta(\omega) -j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)}$

$0$

\begin{aligned} U (ω) & = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) + j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)} \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &=\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) +j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)} \\ & =\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) \end{align}$

— Tendero
источник

Это очень мило! Я проверил это, и все кажется правильным, так что мнимая часть должна в некотором смысле стремиться к нулю. Я подумаю об этом немного.

— Мэтт Л.

@MattL. Дайте мне знать, если вы сможете добиться какого-либо прогресса!

— Тендеро

@MattL. Доказательство наконец завершено!

— Тендеро

ω = 0

$\omega=0$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

1 / (1 - e^{- j ω})

$1/(1-e^{-j\omega})$

ω = 0

$\omega=0$

Я приведу два относительно простых доказательства, которые не требуют каких-либо знаний по теории распределения. Для доказательства, которое вычисляет DTFT с помощью предельного процесса, используя результаты из теории распределения, см. Этот ответ Tendero .

Я упомяну (и не буду подробно останавливаться) первое доказательство здесь, потому что я разместил его как ответ на этот вопрос , целью которого было показать, что определенное опубликованное доказательство является ошибочным.

Другое доказательство состоит в следующем. Давайте сначала запишем четную часть последовательности шагов блока $u[n]$ :

\begin{matrix} (1) & U_{е} [N] знак равно \frac{1}{2} (U [N] + U [- N]) знак равно \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [N] \end{matrix}

$u_e[n]=\frac12\left(u[n]+u[-n]\right)=\frac12+\frac12\delta[n]\tag{1}$

DTFT из $(1)$ является

\begin{matrix} (2) & ДВПФ {U_{е} [N]} знак равно π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$\text{DTFT}\{u_e[n]\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{2}$

которая равна реальной части DTFT $u[n]$ :

\begin{matrix} (3) & U_{р} (ω) знак равно ре {U (ω)} знак равно π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$U_R(\omega)=\text{Re}\{U(\omega)\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{3}$

поскольку $u[n]$ реальная последовательность, которую мы сделали, потому что действительная и мнимая части $U(\omega)$ связаны через преобразование Гильберта, и, следовательно, $U_R(\omega)$ однозначно определяет $U(\omega)$ , Однако в большинстве текстов DSP эти соотношения преобразования Гильберта выводятся из уравнения $h[n]=h[n]u[n]$ (который действителен для любой причинной последовательности $h[n]$ ), из чего следует, что $H(\omega)=\frac{1}{2\pi}(H\star U)(\omega)$ , Таким образом, чтобы показать отношение преобразования Гильберта между действительной и мнимой частями DTFT, нам нужен DTFT $u[n]$ , который мы на самом деле хотим вывести здесь. Таким образом, доказательство становится круглым. Вот почему мы выберем другой способ вывести мнимую часть $U(\omega)$ ,

Для получения $U_I(\omega)=\text{Im}\{U(\omega)\}$ we write the odd part of $u[n]$ as follows:

\begin{matrix} (4) & u_{o} [n] = \frac{1}{2} (u [n] - u [- n]) = u [n - 1] - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_o[n]=\frac12\left(u[n]-u[-n]\right)=u[n-1]-\frac12+\frac12\delta[n]\tag{4}$

Taking the DTFT of $(4)$ gives

\begin{aligned} j U_{I} (ω) & = e^{- j ω} U (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (U_{R} (ω) + j U_{I} (ω)) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (π δ (ω) + \frac{1}{2}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ (5) & = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) \end{aligned}

$\begin{align}jU_I(\omega)&=e^{-j\omega}U(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}(U_R(\omega)+jU_I(\omega))-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}\left(\pi\delta(\omega)+\frac12\right)+e^{-j\omega}jU_I(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=\frac12(1+e^{-j\omega})+e^{-j\omega}jU_I(\omega)\tag{5}\end{align}$

where I've used $(3)$ . Eq. $(5)$ can be written as

\begin{matrix} (6) & j U_{I} (ω) (1 - e^{- j ω}) = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) \end{matrix}

$jU_I(\omega)(1-e^{-j\omega})=\frac12(1+e^{-j\omega})\tag{6}$

The correct conclusion from $(6)$ is (see this answer for more details)

\begin{matrix} (7) & j U_{I} (ω) = \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + c δ (ω) \end{matrix}

$jU_I(\omega)=\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+c\delta(\omega)\tag{7}$

But since we know that $U_I(\omega)$ must be an odd function of $\omega$ (because $u[n]$ is real-valued), we can immediately conclude that $c=0$ . Hence, from $(3)$ and $(7)$ we finally get

\begin{aligned} U (ω) & = U_{R} (ω) + j U_{I} (ω) \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} (1 + \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}}) \\ (8) & = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{aligned}

$\begin{align}U(\omega)&=U_R(\omega)+jU_I(\omega)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12+\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12\left( 1+\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\right)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{8}\end{align}$

— Matt L.
источник