Почему реальная часть БПФ преобразует изображение в поворот + оригинал?

Я прочитал это изображение:

взял его БПФ (2D), а затем обратное БПФ, чтобы получить точно изображение обратно. Код предоставляется для справки:

imfft = fft2(photographer);
im = uint8(ifft2(imfft));

imshow(im); %Output is same image

Но когда я меняю фурье и принимаю только реальную роль,

imfft = real(fft2(photographer));
im = uint8(ifft2(imfft));
imshow(im);

Я получаю изображение как это ( обратите внимание, что изменение размера не имеет значения и только из-за сохранения его из обработчика фигур Matlab ):

Может кто-нибудь объяснить мне теорию (математику) за этим? Благодарность

Допустим, ваше изображение задано . Тогда его преобразование Фурье дается I f ( ω x , ω y ) = ∫ x ∫ y I ( x , y ) e j ω x x e j ω y y d x d $I(x,y)$

$$I^f(\omega_x,\omega_y) = \int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy$$

Теперь вы принимаете реальную часть и выполняете обратное:

$$\begin{align} I_m(\alpha,\beta) &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{I^f(\omega_x,\omega_y)\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y \\ &= \int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{\int_x\int_yI(x,y)e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}dxdy\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_y\\ &= \int_x\int_yI(x,y)\int_{\omega_x}\int_{\omega_y}\Re\left\{e^{j\omega_xx}e^{j\omega_yy}\right\} e^{j\omega_x\alpha}e^{j\omega_y\beta}d\omega_xd\omega_ydxdy \end{align}$$

Вы можете ясно видеть, что внутренний интеграл является двумерным преобразованием Фурье который является

$$\cos(\omega_xx)\cos(\omega_yy) + \sin(\omega_xx)\sin(\omega_yy)$$ $$\frac{1}{2}\left[\delta(x-\alpha)\delta(y-\beta) + \delta(x+\alpha)\delta(y+\beta)\right]$$

Подстановка результата в дает $I_m$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(-x,-y)\right]$$

Конечно, в вашем случае , однако дискретное преобразование Фурье предполагает, что ваш сигнал периодический, и вы получаете где - размеры вашего изображения. Я думаю, теперь вы понимаете, почему вы получили такой результат.$x,y>0$$N$

$$I_m(x,y) = \frac{1}{2}\left[I(x,y)+I(N-x,M-y)\right]$$ $N,M$

Предоставленный результат ThP также можно сформулировать в очень простых терминах: если у вас есть набор данных, который является чисто вещественным, его (обратное) преобразование Фурье будет иметь эрмитову симметрию: если вы найдете значение в позиции , то Вы найдете комплексное сопряженное значение в точечно-отраженной позиции относительно начала координат. Обратите внимание, что источником здесь будет центр фурье-пространства. Конечно, это можно переформулировать, если компонент DC не находится в центре вашей реализации FFT. И это то, что вы видите на своем изображении: точечно-отраженная версия накладывается на истинное изображение - потому что вы вынудили одно пространство быть реальным.$z$$(x,y)$$z^*$$(-x,-y)$

Это свойство фактически используется для ускорения магнитно-резонансной томографии (МРТ) в некоторых случаях: МРТ получает данные непосредственно в фурье-пространстве. Поскольку идеальное МР-изображение можно описать только действительными значениями (все возбужденные векторы намагниченности имеют фазу 0), вам нужно только получить половину пространства данных, что экономит вам половину времени визуализации. Конечно, МР-изображения не являются полностью реальными из-за ограничений реальности ... но с помощью нескольких приемов вы все равно можете с выгодой использовать эту технику.