Является ли преобразование Лапласа избыточным?

Преобразование Лапласа является обобщением преобразования Фурье, поскольку преобразование Фурье является преобразованием Лапласа для (т. Е. представляет собой чисто мнимое число = нулевая действительная часть ). $s = j\omega$ $s$ $s$

Напоминание:

Преобразование Фурье: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Преобразование Лапласа: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Кроме того, сигнал может быть точно восстановлен из его преобразования Фурье, а также из преобразования Лапласа.

Поскольку для реконструкции требуется только часть преобразования Лапласа (часть, для которой ), остальная часть преобразования Лапласа ( $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$ ) представляется бесполезной для восстановления ...

Это правда?

Кроме того, может ли сигнал быть восстановлен для другой части преобразования Лапласа (например, для или $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$ )?

И что произойдет, если мы вычислим преобразование Лапласа сигнала, затем изменим только одну точку преобразования Лапласа и вычислим обратное преобразование: вернемся ли мы к исходному сигналу?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
источник

Почему отрицательный голос? Даже если вопрос может содержать ложные выводы, это то, что вы можете очень хорошо обсудить в комментарии или ответе. Молчаливое уклонение от ответа на вопрос, в который кто-то явно приложил некоторые усилия, не очень конструктивно.

— Jazzmaniac

я поднял вопрос если я имею в виду , с точки зрения угловой частотой

, то я хотел бы сказать преобразование Фурье:

и преобразования Лапласа:

. тогда совершенно ясно, что это одно и то же (Сорта).

ω

$\omega$

Икс (J ω) знак равно \int_{- \infty}^{\infty} Икс (T) е^{- J ω T} d T

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

Икс (s) знак равно \int_{- \infty}^{\infty} Икс (T) е^{- s T} d T

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— Роберт Бристоу-Джонсон

Очевидно, что у преобразования Фурье и Лапласа много общего. Однако есть случаи, когда можно использовать только один из них или когда удобнее использовать один или другой.

$s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$ , что означает, что соответствующий интеграл в определении преобразования Фурье не сходится, т.е. преобразование Фурье в этом случае не существует. кейс.

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

Также взгляните на этот ответ на связанный вопрос.

— Мэтт Л.
источник

Преобразование Фурье является полезным инструментом для анализа идеальных (не причинных, нестабильных) систем: вы бы сказали, причинно-устойчивых?

— Винз

@ user17604: Я имел в виду то, что я написал. Конечно, вы также можете использовать его для причинных и стабильных (и неидеальных) систем. Но одним из важных применений является анализ идеальной системы (например, идеальных частотно-избирательных фильтров), где преобразование Лапласа не может быть использовано.

— Мэтт Л.

@MattL. Отличный ответ, но я обнаружил, что «анализ систем LTI с ненулевыми начальными условиями» сбивает с толку, как система LTI может иметь ненулевые начальные условия?

@ 0MW: Да, я, вероятно, должен был сказать «системы, которые иначе являются LTI (если изначально находятся в состоянии покоя)».

— Мэтт Л.