Статистические свойства оценок Калмана при гауссовском шуме

Для линейной модели пространства состояний с независимым гауссовым состоянием и выходными шумами и идеальным предположением для начального состояния оценки Калмана имеют следующие свойства: где

Е ({\hat{Икс}}_{К | К} - {Икс}_{К}) знак равно 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

п_{К | К} знак равно В a р ({\hat{Икс}}_{К | К} - {Икс}_{К}), или В a р ({\hat{Икс}}_{К | К}), или В a р ({Икс}_{К}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ - это состояние в момент времени , которое является случайным $k$
$\hat{x}_{k|k}$ и являются оценками Калмана, т.е. выходами фильтра Калмана. $P_{k|k}$

Есть ли упоминания о них?

Спасибо!

kalman-filters

— Тим
источник

Is апостериорной оценивается ковариационная матрица в момент времени ? На самом деле не используется стандартная запись, поэтому не совсем понятно, что вы подразумеваете под «оценками Калмана».

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— Джейсон Р

@ Джейсон: да, это ...

— Тим

Ответы:

Следующие два утверждения эквивалентны высказыванию:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) что оценщик объективен ; а также

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) что оценка является последовательной .

Оба эти условия необходимы для того, чтобы фильтр был оптимальным, т. Е. Наилучшей из возможных оценок по некоторым критериям. $\mathbf{x}_{k|k}$

Если (1) неверно, то среднеквадратичная ошибка (MSE) будет смещением плюс дисперсия (в скалярном случае). Ясно, что это больше, чем только дисперсия и, следовательно, неоптимальный.

Если (2) не верно (то есть вычисленная фильтром ковариация отличается от истинной ковариации), тогда фильтр также будет неоптимальным. Поскольку коэффициент усиления Калмана основан на вычисленной ковариации состояния, ошибка в ковариации приведет к ошибке в коэффициенте усиления. Ошибка в усилении означает неоптимальное взвешивание измерений.

(Как это бывает, оба условия верны для правильно смоделированного фильтра. Ошибки в моделировании, такие как динамическая модель или ковариации шума, также сделают фильтр неоптимальным).

Источник: Бар-Шалом , особенно раздел 5.4 на стр. 232-233.

— Damien
источник

$x_k$ $k$

Е ({\hat{Икс}}_{К | К}) знак равно {Икс}_{К}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

Е ({\hat{Икс}}_{К | К} - {Икс}_{К}) знак равно 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Также

В a р ({Икс}_{К}) знак равно 0

$Var(x_k) = 0$

А также,

п_{К | К} знак равно В a р ({\hat{Икс}}_{К | К})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ который, учитывая, что является детерминированным, оказывается также равным

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

Фон

$x_k$ $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

{Икс}_{К + 1} знак равно A {Икс}_{К} + В U_{К} + г вес

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

В качестве ссылки: статья Калмана:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— aiao
источник

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

@Drazick Шум процесса обычно задается символом w с дисперсией Q. xk - это состояние системы, не имеет никакого смысла, что состояния являются случайными; оценка с другой стороны, будучи случайной величиной, имеет смысл

— aiao

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

w

$w$

k

$k$

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$