Значение вещественной и мнимой части преобразования Фурье сигнала

Скажем, является сигналом времени , его преобразование Фурье переменной . $f$ $t$ $F$ $v$

Известно, что в полярных координатах говорит нам, какая частота присутствует в сигнале, а говорит нам, насколько вклад этой частоты сдвинут по фазе. $|F(v)|$ $v$ $Arg(F(v))$

Какую информацию говорит нам ее действительная и мнимая часть?

Или, если я переформулирую свой вопрос: можем ли мы дать интерпретацию преобразования Фурье в декартовой координате, как мы можем сделать в полярной координате?

fourier-transform

— user2682877
источник

Ответы:

Действительная и мнимая части преобразования Фурье сигнала являются преобразованиями Фурье четной и нечетной частей сигнала соответственно: $x(t)$

X_{R} (ω) = \frac{1}{2} [X (ω) + X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2} [x (t) + x^{*} (- t)] = x_{e} (t) X_{I} (ω) = \frac{1}{2 j} [X (ω) - X^{*} (ω)] ⟺ \frac{1}{2 j} [x (t) - x^{*} (- t)] = - j \cdot x_{o} (t)

$X_R(\omega)=\frac12[X(\omega)+X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac12[x(t)+x^*(-t)]=x_e(t)\\ X_I(\omega)=\frac{1}{2j}[X(\omega)-X^*(\omega)]\Longleftrightarrow\frac{1}{2j}[x(t)-x^*(-t)]=-j\cdot x_o(t)$

где и - действительная и мнимая части , а и - четная и нечетная части соответственно. $X_R(\omega)$ $X_I(\omega)$ $X(\omega)$ $x_e(t)$ $x_o(t)$ $x(t)$

— Мэтт Л.
источник

Извините, что был плотным, но я все еще не понимаю. Что вы подразумеваете под «четными и нечетными частями» сигнала? (Я также не уверен, что означает двойная стрелка в вашей записи.)

— natevw

Обновление: возможно, это как-то связано с четными и нечетными функциями, как описано здесь: cs.unm.edu/~williams/cs530/symmetry.pdf ?

— natevw

@natevw: двойная стрелка означает, что функции слева и справа образуют пару преобразования Фурье. Каждый сигнал может быть разложен на четные и нечетные части:

, где

- четная функция, а

- нечетная функция ,

x (t) = x_{e} (t) + x_{o} (t)

$x(t)=x_e(t)+x_o(t)$

x_{e} (t)

$x_e(t)$

x_{o} (t)

$x_o(t)$

— Мэтт Л.

Спасибо, это проясняет ваш ответ в сочетании со вступительными слайдами презентации "симметрия", которую я привел выше!

— natevw

И что такое j в мнимой / нечетной части?

— Сссеридан

Если есть равные частоты, но одна является отрицательной по отношению к другой, они будут отменены, и будет нулевой мнимый сигнал.

— Гамалиил
источник

-1

$e^{j\omega t}$ $\omega$

— Сита Рама Раджу Санапала
источник

Хотя ваше мнение об резистивной части / реактивной части в линейных системах может быть действительно интересным, в текущей форме ваш ответ является грязным и едва понятным. Я понижаю это

— Антуан Бассул