Как рассчитать спектральную плоскостность по БПФ?

Хорошо, спектральная плоскостность (также называемая энтропией Винера) определяется как отношение геометрического среднего спектра к его среднему арифметическому.

Википедия и другие ссылки говорят о спектре мощности . Разве это не квадрат преобразования Фурье? БПФ производит «амплитудный спектр», а затем вы возводите в квадрат, чтобы получить «спектр мощности»?

В основном, что я хочу знать, если spectrum = abs(fft(signal)), какой из них является правильным?

• spectral_flatness = gmean(spectrum)/mean(spectrum)
• spectral_flatness = gmean(spectrum^2)/mean(spectrum^2)

Определение Википедии, кажется, использует величину непосредственно:

$$\mathrm{Flatness} = \frac{\sqrt[N]{\prod_{n=0}^{N-1}x(n)}}{\frac{\sum_{n=0}^{N-1}x(n)}{N}} = \frac{\exp\left(\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} \ln x(n)\right)}{\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x(n)}$$ где представляет величину числа бинов .н$x(n)$$n$

Документы SciPy определяют спектр мощности как:

Когда вход а является сигналом во временной области , и A = fft(a), np.abs(A)является его амплитудным спектром и np.abs(A)**2является ее спектром мощности.

Этот источник соглашается с определением «спектра мощности» и называет его :$S_{f}(\omega)$

Мы можем определить который является преобразованием Фурье сигнала в периоде T, и определить спектр мощности следующим образом: $F_{T}(\omega)$$\displaystyle S_{f}(\omega) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}{\mid F_{T}(\omega)\mid}^2.$

Этот источник определяет энтропию Винера в терминах .$S(f)$

Но я не вижу возведения в квадрат в таких уравнениях , которые, кажется, основаны на спектре величин :

$$S_{flatness} = \frac{\exp\left(\frac{1}{N} \sum_k \log (a_k)\right)}{\frac{1}{N} \sum_k a_k}$$

Аналогичным образом, другой источник определяет спектральную плоскостность в терминах спектра мощности, но затем непосредственно использует величину бункеров БПФ, что, по-видимому, противоречит приведенному выше определению «спектра мощности».

Означает ли «энергетический спектр» разные вещи для разных людей?

Наиболее авторитетное упоминание, которое я могу придумать, принадлежит Jayant & Noll, Digital Coding Of Waveforms , (c) Bell Telephone Laboratories, Incorporated 1984, опубликованной Prentice-Hall, Inc.

На странице 57 они определяют спектральную плоскостность:

и ранее на странице 55 они определяют :$S_{xx}$

Таким образом, версия FFT в квадрате - это то, что вам нужно.

Похоже, Makhoul & Wolf, линейное прогнозирование и спектральный анализ речи , Bolt, Beranek и Newman, Inc. Технический отчет, 1972, также доступны.

И это имеет то же определение:

Если определение плоскостности требует использования спектра мощности, то да, вы должны возвести в квадрат величины, как указано в справочной документации SciPy. В уравнении, на которое вы ссылались, где вы не видели квадратуры, я не думаю, что вы сможете многое понять в этом; это говорит о том, что

$a_k$

Определения меняются, не так ли? Первое, что должно быть решено, - согласны ли мы с тем, что спектральная плотность мощности эквивалентна спектру мощности , или же определим, что мы подразумеваем под обоими. Проакис и Салехи используют их как синонимы . Продолжая, я думаю, что расхождения связаны с различными определениями для сигналов, которые имеют один, спектра мощности. Обычное определение этого является квадратом величины преобразованных Фурье данных. Теорема Винера-Хинчина предоставляет другой путь к спектру мощности для сигналов WSS через преобразование Фурье автокорреляции. В зависимости от того, определяете ли вы спектр мощности квадратом, вы получаете квадрат в спектральной плоскостности.

Другие используют величину преобразования Фурье . Некоторые называют это «спектром мощности» и резервируют название « плотность спектра мощности » для производной от «спектра мощности», в то время как другие резервируют термин «спектр мощности» для интеграла от преобразования Фурье автокорреляции (что другие называют спектр мощности). Как видите, определений предостаточно; не стесняйтесь изобретать свои собственные :) Или придерживайтесь стандарта Винера-Хинчина.

Смежный вопрос : Разница между спектральной плотностью мощности, спектральной мощностью и отношениями мощности?

Это хороший вопрос, который мне тоже был интересен. Спектральная плоскостность (также известная как энтропия Вейнера) является просто мерой «пиковости» вектора.

Этот источник, по- видимому, указывает на то, что рассматриваемый вектор является спектральной плотностью мощности, и в этом случае вы должны возвести в квадрат. Если вы возводите в квадрат спектр величин, вы акцентируете пики над случаем, когда вы явно не возводите в квадрат, и я думаю, что это также имеет более интуитивный смысл.