Почему преобразование Фурье гребня Дирака является гребнем Дирака?

16

Это не имеет смысла для меня, потому что неравенство Гейзенберга гласит , что $\Delta t\Delta \omega$ ~ 1.

Поэтому, когда у вас есть что-то идеально локализованное во времени, вы получаете что-то полностью распределенное по частоте. Следовательно, основное соотношение $\mathfrak{F}\{\delta(t)\} = 1$ где $\mathfrak{F}$ - оператор преобразования Фурье .

Но для гребня Дирака , применяя преобразование Фурье, вы получаете еще один гребень Дирака. Интуитивно, вы также должны получить другую строку.

Почему эта интуиция терпит неудачу?

fourier-transform

— Карлос - Мангуст - Опасность
источник

13

Я считаю, что заблуждение заключается в том, чтобы верить, что гребень Дирака локализован во времени. Это не потому, что это периодическая функция, и как таковая она может иметь частотные составляющие только в кратных основной частоте, то есть в дискретных частотных точках. Он не может иметь непрерывного спектра, иначе он не будет периодическим во времени. Как и любая другая периодическая функция, гребенка Дирака может быть представлена рядом Фурье, то есть как бесконечная сумма комплексных экспонент. Каждая комплексная экспонента соответствует импульсу Дирака в частотной области на различной частоте. Суммирование этих импульсов Дирака дает гребень Дирака в частотной области.

— Мэтт Л.
источник

Да, ни одна периодическая гребенка не локализована в соответствующей независимой переменной (время / частота).

— Питер К.

11

Ваша интуиция не работает, потому что вы начинаете с неправильных предположений. Неопределенность Гейзенберга не говорит того, что вы думаете, что говорит. Как вы уже сказали в своем вопросе, это неравенство . Чтобы быть точным, это

Δ t \cdot Δ f \geq \frac{1}{4 π}

$\Delta t \cdot \Delta f \geq\frac{1}{4\pi}$

Нет причины, по которой произведение неопределенности должно быть близко к его нижней границе для всех сигналов. Фактически, единственными сигналами, которые достигают этой нижней границы, являются атомы Габора. Для всех других сигналов ожидайте, что он будет больше и, возможно, даже бесконечным.

— Jazzmaniac
источник

1

Правильно, но главная ошибка - думать, что гребень Дирака локализован во времени. Это не потому, что это периодическое. Таким образом, теорема неопределенности не говорит ничего полезного о гребне Дирака.

— Мэтт Л.

@ MattL., Я не так понимаю первоначальный вопрос. Я думаю, что он на самом деле утверждает, что поезд Дирака полностью делокализован в своей родной области и, следовательно, должен преобразовать Фурье в нечто очень локализованное.

— Jazzmaniac

1

Хорошо, похоже, есть недопонимание того, что ОП означает «другая линия». Я думал, что это относится к плоскому спектру (так же, как спектр импульса Дирака, о котором он говорил ранее). Но вы думали, что это относится к спектральной линии, то есть к одной частоте. По крайней мере, теперь я понимаю, как ваш ответ мог ответить на вопрос ОП.

— Мэтт Л.

1

@MattL., Я действительно думал, что он имеет в виду обычное графическое представление распределений Дирака, когда он пишет «линию». В любом случае ему придется уточнить, так как вопрос действительно может быть прочитан как минимум двумя разными способами.

— Jazzmaniac

1

хорошо, «стандартное» определение - это физическое утверждение, связывающее неопределенности импульса и положения (в частности, стандартные отклонения), и в нем есть

. и даже в этом случае вы должны определить, что подразумевается под «

» и «

». та константа (которую вы указываете как

ℏ

$\hbar$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

) не может быть слишком далеко от единицы (в логарифмическом масштабе), но это не обязательно должно быть

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

, за исключениемсвязи с определением конкретного для «

» и «

».

\frac{1}{4 π}

$\frac{1}{4 \pi}$

Δ t

$\Delta t$

Δ f

$\Delta f$

— Роберт Бристоу-Джонсон

6

инженеры-электрики играют немного быстро и свободно с дельта-функцией Дирака, которая, как утверждают математики, не является функцией (или, по крайней мере, не является «обычной» функцией, а является «распределением»). математический факт состоит в том, что если $f(t)=g(t)$ «почти везде» (что означает при каждом значении $t$ кроме счетного числа дискретных значений), то

\int f (t) d t = \int g (t) d t

$\int f(t)dt = \int g(t)dt$ .

ну, функции $f(t)=0$ и $g(t)=\delta(t)$ везде одинаковы, кроме как при $t=0$ , но мы, инженеры-электрики, настаиваем на том, что их интегралы различны. но если вы отложите эту небольшую (и, на мой взгляд, непрактичную) разницу, ответ на ваш вопрос:

гребенчатая функция Дирака
${I I I}_{T} (t) ≜ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} δ (t - k T)$ $\mathrm{III}_T(t) \triangleq \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(t - kT)$ является периодической функцией периода $T$ и поэтому имеет ряд Фурье: ${I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_{n} e^{j 2 π n t / T}$ $\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{j 2 \pi n t/T}$
если вы взрывы из коэффициентов, $c_n$ , из ряда Фурье вы получите:

\begin{aligned} c_{n} & = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} {I I I}_{T} (t) e^{- j 2 π n t / T} d t \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n t / T} d t (k = 0) \\ = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} δ (t) e^{- j 2 π n 0 / T} d t \\ = \frac{1}{T} \forall n \end{aligned}

$\begin{align} c_n & = \frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T} \mathrm{III}_T(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n t/T} dt \quad \quad (k=0)\\ & = \frac{1}{T}\int\limits_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j 2 \pi n 0/T} dt \\ & = \frac{1}{T} \quad \quad \forall n \\ \end{align}$

поэтому ряд Фурье для гребня Дирака

{I I I}_{T} (t) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac{1}{T} e^{j 2 π n t / T}

$\mathrm{III}_T(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T} \ e^{j 2 \pi n t/T}$

Это означает, что вы просто суммируете группу синусоид одинаковой амплитуды.

Преобразование Фурье одной комплексной синусоиды имеет вид:

F {e^{j 2 π f_{0} t}} = δ (f - f_{0})

$\mathfrak{F} \left\{ e^{j 2 \pi f_0 t} \right\} = \delta(f-f_0)$

and there is this property of linearity regarding the Fourier Transform. the rest of the proof is an exercise left to the reader.

— robert bristow-johnson
источник

1

@Jazzmaniac, that's a falsehood. when have i ever been condescending toward mathematicians? (me thinks you're projecting a bit.) BTW, it's been 38 years since i have had 2 semesters of functional analysis at the graduate level. don't remember everything, but i sure do remember what a metric space is, a normed metric space (i think they were sometimes called "Banach spaces"), and inner product spaces (sometimes called "Hilbert spaces"), and what a functional is (maps from one of these to a number). and i know what linear spaces are. about

δ (t)

$\delta(t)$ , i don't mind them being naked.

— robert bristow-johnson

You go on with a wrong argument that suggests mathematicians don't get 1 when they integrate over a Dirac distribution. Well, you can't demonstrate any better that you haven't understood the Dirac distribution, even if you have taken a class on functional analysis. It doesn't need electrical engineers like you to "fix" mathematics. And I will keep pointing that out to you until you stop talking about mathematicians like that. It's entirely your choice.

— Jazzmaniac

that's a falsehood, too, @Jazzmaniac. i am saying that, consistent with what mathematicians tell us, the Dirac delta function is not really a function (even though we electrical engineers don't worry about that distinction and deal with it as if it were a function) because if it were a function that was zero almost everywhere, the integral would be zero. why do you keep misrepresenting me? what is the ax you're grinding?

— robert bristow-johnson

@ robertbristow-johnson "Инженеры-электрики играют быстро и свободно с дельта-функцией Дирака." Пол Дирак был инженером-электриком. Клод Шеннон был также инженером-электриком. Я предостерегаю вас от таких общих и неточных заявлений. Вы утверждаете, что являетесь инженером-электриком и четко понимаете теорию распределения.

— Марк Виола

почти в каждом учебнике по электротехнике для студентов бакалавриата по теории линейных систем или сигналам и системам или тому подобному названию дельта Дирака рассматривается и рассматривается как ограничивающий случай "возникающей дельты" . например:

δ (t) = lim_{a \to 0} \frac{1}{a \sqrt{π}} e^{- t^{2} / a^{2}}

$\delta(t) = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a \sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-t^2/a^2}$ or some other unit area pulse function that you can make skinny. i would not be surprized that in published papers, folks like Shannon or Dirac (didn't know that) would stick with the conservative facts:

\int f (t) δ (t - τ) d t = f (τ)

$\int f(t) \delta(t-\tau) \ dt = f(\tau)$ and

δ (t) = 0 \forall t \neq 0

$\delta(t)=0 \quad \forall \ t \ne 0$ .

— robert bristow-johnson

1

Я постараюсь дать интуицию. Вероятно, мы могли бы подумать так: «Одна дельта Дирака дает нам 1 в частотной области. Теперь я даю бесконечное количество дельт Дирака. Разве я не должен получить более высокий DC?» Теперь давайте посмотрим, получим ли мы все эти частотные компоненты, упомянутые в гребне Дирака в частотной области (FD), мы получим еще одну гребень Дирака во временной области (TD). Мы добавляем непрерывные сигналы и получаем дельты в дискретных точках. Звучит странно.

Возвращаясь к ФД. У нас есть гребень Дирака с расстоянием $\omega_0$ , Чтобы выразить это словами, у нас есть $0,\pm\omega_0,\pm2\omega_0,\pm3\omega_0$ и так далее. Таким образом, мы имеем DC и бесконечное число косинусов, а именно $\cos(\omega_0 t), \cos(2\omega_0 t), \cos(3\omega_0 t)$ и так далее.

Рассмотрим точки во временной области, соответствующие $t = \frac{2n\pi}{\omega_0}$ , Все вышеупомянутые косинус-волны дадут нам значение 1. Следовательно, все они складываются и дают нам ненулевое значение в этих точках. А как насчет других т? Нам нужно убедиться, что все они будут в сумме равны нулю.

Теперь немного отклоняемся, давайте рассмотрим форму волны $cos(kn) ; n = 0,1,2,3,4...\infty$ , Мы знаем, что если k не может быть выражено как дробь, умноженная на $\pi$ Апериодический. Что это обозначает? Там нет ни одного повторяющегося образца. Каждый из образцов уникален. Если взглянуть на это с другой точки зрения, мы имеем бесконечное количество образцов, которые являются уникальными и являются частью волны косинуса. Это означает, что, взяв все бесконечные точки, мы сможем построить одну НЕПРЕРЫВНУЮ косинусную волну полностью один раз. Что, если $cos(kn)$ является периодическим? Мы уже знаем, что сумма выборок будет периодически равна нулю в зависимости от значения k. Следовательно, сумма всех образцов $cos(kn)$ даст нам ноль для любого значения к, кроме $k = 2\pi$ кратно.

Возвращаясь к нашей первоначальной проблеме: теперь мы возьмем произвольную $t=t_0 \neq 2r\pi$ . Now we have $\cos(0\omega_0 t_0)[dc] + \cos(\omega_0 t_0) + \cos(2\omega _0 t_0) + \cos(3\omega_0 t_0)$ ....as the value at $t=t_0$ . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except $t=\frac{2n\pi}{\omega _0}$ , where all these cosines add up to give dirac deltas.

— Subramanian T R
источник