Решение проблемы свертки одномерного сигнала

Я нахожусь в беде, пытаясь решить это упражнение. Я должен рассчитать свертку этого сигнала:

y (t) = e^{- k t} u (t) \frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(π t)}

$y(t)=e^{-kt}u(t)\frac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{({\pi}t)}$

где $u(t)$ - функция Хевисайда

хорошо я применил формулу, которая говорит, что свертка этих двух сигналов равна

Y (f) = X (f) \cdot W (f)

$Y(f)=X(f)\cdot W(f)$

где $X(f)$ - преобразование Фурье первого сигнала, а $W(f)$ - преобразование Фурье второго сигнала

хорошо преобразование Фурье $e^{-kt}u(t)$ есть

X (f) = \frac{1}{k + j 2 π f}

$X(f)=\dfrac{1}{k+j2{\pi}f}$

Я должен сделать второй сигнал как можно $\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

поэтому я делаю эту операцию:

\frac{\sin (\frac{π t}{10})}{(\frac{π t}{10})} (\frac{1}{10})

$\dfrac{\sin\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{{\pi}t}{10}\right)}{\left(\dfrac{1}{10}\right)}$ это равно

(\frac{1}{10}) sinc (\frac{t}{10})

${\left(\dfrac{1}{10}\right)}\text{sinc}\left(\dfrac{t}{10}\right)$

правильно или нет?

— Mazzy
источник

Выглядит правильно для меня. Одно предупреждение - некоторые определения sinc включают pi в параметры, как вы это сделали, а некоторые предполагают это (т.е. они написали бы sinc (t / 10)). Либо один в порядке, пока вы понимаете, что вы делаете.

— Джим Клэй

Y (f)

$Y(f)$

Несмотря на то, что я понимаю, что это очень поздний ответ, я все же попытаюсь ответить на этот вопрос, потому что считаю его поучительным, а также потому, что количество голосов говорит о том, что этот вопрос представляет общий интерес для сообщества.

$x(t)$ $w(t)$

x (t) = e^{- k t} u (t), k > 0 w (t) = \frac{\sin (π t / 10)}{π t}

$x(t)=e^{-kt}u(t),\quad k>0\\w(t)=\frac{\sin(\pi t/10)}{\pi t}$

$(x*w)(t)$ $x(t)$ $w(t)$ $x(t)$

X (j ω) = \int_{0}^{\infty} e^{- k t} e^{- j ω t} d t = \frac{1}{k + j ω}

$X(j\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-kt}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{k+j\omega}$

$w(t)$ $\omega_0=2\pi f_0$

\begin{matrix} (1) & h_{L P} (t) = \frac{\sin ω_{0} t}{π t} \end{matrix}

$h_{LP}(t)=\frac{\sin \omega_0 t}{\pi t}\tag{1}$

$w(t)$ $w(t)$ $\omega_0=\pi/10$

W (j ω) = u (ω + ω_{0}) - u (ω - ω_{0})

$W(j\omega)=u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)$

u (ω)

$u(\omega)$

$y(t)=(x*w)(t)$ $Y(j\omega)=X(j\omega)W(j\omega)$

y (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} X (j ω) W (j ω) e^{j ω t} d ω = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{0}}^{ω_{0}} \frac{1}{k + j ω} e^{j ω t} d ω

$y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)W(j\omega)e^{j\omega t}d\omega= \frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_0}^{\omega_0}\frac{1}{k+j\omega}e^{j\omega t}d\omega$

$\text{Ei}(x)$ $\text{Si}(x)$ $\text{Ci}(x)$

$y(t)$ $k=0.05$ $\omega_0=\pi/10$ введите описание изображения здесь

$x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $t<0$ $\omega_0=\pi$ $\pi/10$

введите описание изображения здесь

— Мэтт Л.
источник

Возможно, лучшая интерпретация была бы входной функцией sinc, примененной к физически реализуемому фильтру нижних частот первого порядка, импульсный отклик которого является экспоненциальной затухающей?

— Дилип Сарвате

Конечно, это еще одна правильная интерпретация, но почему лучше? Хорошо, система может быть реализована, но не входной сигнал. Идеальный фильтр нижних частот - это стандартная система, которая часто анализируется и используется в учебных целях, даже если она не может быть реализована. Во всяком случае, к счастью, результат остается прежним :)

— Мэтт Л.