Что такое

9

Что такое -преобразование последовательности для ? $\mathcal Z$ $J_0(\alpha n)$ $n \in \mathbb{Z}$

Известно, что преобразование Фурье функции Бесселя порядка является для . Это полюс в . Означает ли это, что -преобразование также будет иметь полюс на единичной окружности? $^{\rm th}$ $J_0(\alpha x)$ $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ $|\omega| < \alpha$ $\omega = \alpha$ $\mathcal Z$

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Проблема, которую я рассматриваю, включает в себя дискретные выборки функции Бесселя, т.е. . Как мне перейти к определению его преобразования? $J_0(n)$ $\mathcal Z$

fourier-transform z-transform

— sauravrt
источник

Мне интересно, какое приложение для этого?

— nibot

@nibot Я работаю с моделью изотропного шума, и для двумерного случая ковариационные матричные элементы шума являются функциями Бесселя нулевого порядка первого рода. Собственные значения cov. Матрица оказывается связанной с Z-преобразованием последовательности функций Бесселя.

— sauravrt

2

Разложение Тейлора для функции Бесселя первого рода и 0-го порядка имеет вид

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

(см. http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function )

Таким образом, вы можете аппроксимировать это как Z-преобразование полинома.

— Hilmar
источник

1

Вы можете применить определение преобразования к эквивалентному выражению функции Бесселя или к приближению. $\mathcal Z$

Эквивалентная функция может быть:

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

Обновление :

Больше информации об эквивалентных выражениях здесь .

— Луис Андрес Гарсия
источник

1

J_{0} (x)

$J_0(x)$

J_{0} (x) = \sqrt{(} \frac{2}{x π} c o s (x - π / 4)

$J_0(x) = \sqrt(\frac{2}{x \pi} cos(x - \pi/4)$

I_{0} (z)

$I_0(z)$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

z

$z$

Ваша оценка по поводу приближения была правдой. Я отредактировал свой ответ.

— Луис Андрес Гарсия