Разница между дискретным временным преобразованием Фурье и дискретным преобразованием Фурье

Я прочитал много статей о DTFT и DFT, но не могу различить разницу между ними, за исключением нескольких видимых вещей, таких как DTFT идет до бесконечности, в то время как DFT только до N-1. Может кто-нибудь, пожалуйста, объясните разницу и когда использовать что? Вики говорит

ДПФ отличается от дискретного преобразования Фурье (ДПФ) тем, что его входные и выходные последовательности являются конечными; поэтому он называется фурье-анализом конечных (или периодических) функций с дискретным временем.

Это единственная разница?

Редактировать: эта статья хорошо объясняет разницу

Дискретное преобразование Фурье (DTFT) является (обычным) преобразованием Фурье сигнала с дискретным временем. Его выход является непрерывным по частоте и периодическим. Пример: чтобы найти спектр выборочной версии сигнала непрерывного времени можно использовать DTFT.х ( т $x(kT)$$x(t)$

Дискретное преобразование Фурье (DFT) можно рассматривать как дискретизированную версию (в частотной области) выхода DTFT. Он используется для вычисления частотного спектра сигнала с дискретным временем с помощью компьютера, поскольку компьютеры могут обрабатывать только конечное число значений. Я бы поспорил против конечного вывода DFT. Он также является периодическим и поэтому может продолжаться бесконечно.

Подвести итог:

                DTFT                | DFT
       input    discrete, infinite  | discrete, finite *)
       output   contin., periodic   | discrete, finite *)

*) Математическое свойство ДПФ, что оба его входа и выхода являются периодическими с длиной ДПФ . То есть, хотя входной вектор для ДПФ на практике конечен, правильно будет сказать, что ДПФ является дискретизированным спектром, если вход ДПФ считается периодическим.$N$

Хорошо, я отвечу на это аргументом, который имеют «противники» моей жесткой нацистской позиции в отношении ДПФ.

Во- первых, моя жесткая, нацистская позиция : ряды ДПФ и Дискрета Фурье - одно и то же. DFT отображает одну бесконечную и периодическую последовательность с периодом во «временной» области в другую бесконечную и периодическую последовательность , опять же с периодом , в «частотную» область. и iDFT отображает его обратно. и они «инъективны» или «обратимы» или «один-к-одному».$x[n]$$N$$X[k]$$N$

DFT:

$$X[k] = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi nk/N}$$

iDFT:

$$x[n] = \frac{1}{N} \sum\limits_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi nk/N}$$

это наиболее фундаментально, что такое DFT. это по своей сути периодическая или круглая вещь.

но отрицатели периодичности хотели бы сказать это о ДПФ. это правда, это просто не меняет ничего из вышеперечисленного.

Итак, предположим, что у вас есть последовательность конечной длины длины и вместо того, чтобы периодически ее расширять (что и делает DFT), вы добавляете эту последовательность конечной длины с нулями бесконечно слева и справа. так$x[n]$$N$

$$\hat{x}[n] \triangleq \begin{cases} x[n] \qquad & \text{for } 0 \le n \le N-1 \\ \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Теперь, это неповторяющаяся бесконечная последовательность делает иметь ДВПФ:

DTFT:

$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right) = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n}$$

$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$ - это Z-преобразование вычисленное на единичной окружности для бесконечного множества вещественных значения . Теперь, если вам нужно будет сэмплировать этот DTFT в одинаково расположенных точках на единичной окружности, с одной точкой в , вы получите$\hat{x}[n]$$z=e^{j\omega}$$\omega$$\hat{X}\left(e^{j\omega}\right)$$N$$z=e^{j\omega}=1$

$$\begin{align} \hat{X}\left(e^{j\omega}\right)\Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j \omega n} \Bigg|_{\omega = 2 \pi\frac{k}{N}} \\ & = \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} \hat{x}[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n/N} \\ & = X[k] \\ \end{align}$$

именно так связаны DFT и DTFT. выборка DTFT с равными интервалами в «частотной» области приводит к тому, что во «временной» области исходная последовательность повторяется и сдвигается на все кратные и добавляется перекрытие. это то, что равномерная выборка в одном домене вызывает в другом домене. но, поскольку предполагается , что равно вне интервала , это добавление с перекрытием ничего не делает. он просто периодически расширяет ненулевую часть , нашей исходной последовательности конечной длины, .$\hat{x}[n]$$N$$\hat{x}[n]$$0$$0 \le n \le N-1$$\hat{x}[n]$$x[n]$

Поскольку вывод DTFT является непрерывным, он не может быть обработан с помощью компьютеров. Таким образом, мы должны преобразовать этот непрерывный сигнал в дискретную форму. Это не что иное, как DFT как дальнейшее продвижение FFT для сокращения вычислений.

Если я прав, даже если ввод DFT является периодическим, хотя число выборок конечно, математика, стоящая за ним, рассматривает его как бесконечную последовательность, которая периодически начинает Nвыборки после ее завершения. Пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.

ДПФ: ЕГО ОБРАТНО БУДЕТ: x [ n ] =

$$X[k]=\sum_{n=0}^{N−1} x[n] e^{−j2\pi nk/N}$$ $$x[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N−1} X[k] e^{j2\pi nk/N}$$